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Concept
Demi-groupe
Résumé
En mathématiques, plus précisément en algèbre générale, un demi-groupe (ou semi-groupe) est une structure algébrique constituée d'un ensemble muni d'une loi de composition interne associative. Il est dit commutatif si sa loi est de plus commutative.
Un demi-groupe est un magma associatif. Un monoïde est un demi-groupe unifère, c'est-à-dire possédant un élément neutre.
L'ensemble des entiers naturels non nuls muni de l'addition est un demi-groupe.
Tout monoïde est un demi-groupe.
Tout groupe est un demi-groupe.
Si est un pseudo-anneau, alors est un demi-groupe.
L'ensemble vide muni de la loi de composition interne est un demi-groupe.
Tout ensemble ordonné dont toute paire d'éléments possède une borne inférieure, muni de la loi qui leur associe cette borne inférieure, constitue un demi-groupe commutatif.
Pour tout demi-groupe , l'ensemble des parties de S est également un demi-groupe pour l'opération définie par
Soient et deux demi-groupes. Une application est un morphisme de demi-groupes si pour tous .
Par exemple, l'application est un morphisme du demi-groupe des entiers naturels munis de l’addition dans le demi-groupe des puissances entières de 2 munis de la multiplication.
Soit un demi-groupe. Il est d'usage de noter le monoïde obtenu par l'ajout à d'un élément supplémentaire, qui déterminera comme l'unique prolongement de à qui fait de ce nouvel élément le neutre de ce dernier restant s'il est déjà unifère. Formellement
Dans le deuxième cas, est un objet quelconque qui ne figure pas dans , et la loi sur est étendue à en posant
pour tout dans
Lorsque le demi-groupe est commutatif, le monoïde l'est aussi. On définit alors son groupe symétrisé ou groupe de Grothendieck .
Si de plus est simplifiable (c'est-à-dire si tous ses éléments sont réguliers) alors l'est aussi, donc le morphisme canonique de dans (via ) est injectif.
Un sous-demi-groupe d'un demi-groupe est un sous-ensemble de fermé sous l'opération de . Un sous-monoïde d'un monoïde est un sous-demi-groupe de qui contient l'élément neutre de .
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