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Concept
Quasigroupe
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, un quasigroupe est un ensemble muni d'une loi de composition interne (un magma) pour laquelle (en pensant cette loi comme une multiplication), il est possible de diviser, à droite comme à gauche, le quotient à droite et le quotient à gauche étant uniques. En d'autre termes l'opération de multiplication à droite est bijective, de même que celle de multiplication à gauche. La loi n'est pas nécessairement associative, et si elle l'est, le quasigroupe est un groupe.
La table de Cayley d'une loi de groupe vérifie une :
chaque élément du groupe apparaît une fois et une seule dans chaque ligne et chaque colonne de la table.
Mais une loi dont la table satisfait cette propriété n'est pas nécessairement la loi d'un groupe.
La loi obtenue est cependant « quasiment » celle d'un groupe, d'où, probablement, le nom de « quasigroupe » donné aux structures correspondantes.
La propriété de réarrangement peut s'exprimer de manière plus formelle :
dire qu'un élément apparaît une fois et une seule sur chaque ligne revient à affirmer que pour tous x et z, l'équation x * y = z a une et une seule solution en y ;
de même, dire qu'un élément apparaît une fois et une seule sur chaque colonne revient à affirmer que pour tous y et z, l'équation x * y = z a une et une seule solution en x.
Un quasigroupe est un magma (E , ✶) non vide tel que pour chaque couple (a, b) l'équation a * x = b a une unique solution en x et l'équation y * a = b possède une unique solution en y.
Un carré latin est une matrice n × n remplie avec n symboles différents d'une façon telle que chaque symbole apparaisse exactement une fois par ligne et une fois par colonne. La table d'un quasigroupe fini est un carré latin, et un carré latin est la table d'un quasigroupe fini.
Tout groupe.
Tout système triple de Steiner.
L'ensemble des éléments non nuls d'une algèbre de dimension finie sans diviseurs de zéro (par exemple les octonions non nuls).
Rn avec l'opération x * y = (x + y) / 2.
Source officielle
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