Magma (algèbre)

En mathématiques, un magma est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. Un magma est par définition un ensemble muni d'une loi de composition interne. Un magma est un ensemble muni d'une loi de composition interne , noté alors ou simplement . Aucun axiome n'est imposé. La loi de composition peut être notée additivement, multiplicativement, mais aussi sans aucun signe, par simple juxtaposition. On dit que le magma est : unifère s'il possède un élément neutre , c'est-à-dire ; un demi-groupe (ou associatif) si est associative ; un monoïde s'il vérifie les deux propriétés (associativité et existence d'un élément neutre). Si et sont des magmas, un morphisme de magmas, ou homomorphisme de magmas, de dans est par définition une application f de M dans N telle que, pour tous éléments x, y de M, on ait Si, de plus, f est une bijection, la réciproque de f est un morphisme de magmas de dans et on dit que f est un isomorphisme de magmas. La réciproque d'un isomorphisme de magmas est un isomorphisme de magmas. Si le contexte est assez clair, on dit « morphisme » tout court plutôt que « morphisme de magmas », mais il y a des cas où cela pourrait prêter à confusion. Par exemple, un morphisme de magmas entre monoïdes n'est pas forcément un morphisme de monoïdes. Le magma vide est l'unique magma sur l'ensemble vide. est un monoïde commutatif. De plus, tout élément y est régulier. est également un monoïde commutatif, mais 0 n'est pas régulier. est un magma non associatif et non commutatif. Il n'est même pas unifère mais seulement unifère à droite car, s'il admet un (unique, ce qui n'est pas automatique) élément neutre à droite (0), il n'en admet pas à gauche. En revanche, ce magma est permutatif et régulier. On appelle magma opposé au magma le magma où pour tous . Magma quotient Magma quotient Murskiǐ a montré en 1965 que le magma à trois éléments muni de la loi interne ci-dessous ne possède pas d'axiomatisation équationnelle (ou base équationnelle) finie.

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Algèbre générale

L'algèbre générale, ou algèbre abstraite, est la branche des mathématiques qui porte principalement sur l'étude des structures algébriques et de leurs relations. L'appellation algèbre générale s'oppose à celle d'algèbre élémentaire ; cette dernière enseigne le calcul algébrique, c'est-à-dire les règles de manipulation des formules et des expressions algébriques. Historiquement, les structures algébriques sont apparues dans différents domaines des mathématiques, et n'y ont pas été étudiées séparément.

Quasigroupe

En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, un quasigroupe est un ensemble muni d'une loi de composition interne (un magma) pour laquelle (en pensant cette loi comme une multiplication), il est possible de diviser, à droite comme à gauche, le quotient à droite et le quotient à gauche étant uniques. En d'autre termes l'opération de multiplication à droite est bijective, de même que celle de multiplication à gauche. La loi n'est pas nécessairement associative, et si elle l'est, le quasigroupe est un groupe.

Demi-groupe

En mathématiques, plus précisément en algèbre générale, un demi-groupe (ou semi-groupe) est une structure algébrique constituée d'un ensemble muni d'une loi de composition interne associative. Il est dit commutatif si sa loi est de plus commutative. Un demi-groupe est un magma associatif. Un monoïde est un demi-groupe unifère, c'est-à-dire possédant un élément neutre. L'ensemble des entiers naturels non nuls muni de l'addition est un demi-groupe. Tout monoïde est un demi-groupe. Tout groupe est un demi-groupe.

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