Théorème de convergence monotone

En mathématiques, le théorème de convergence monotone (ou théorème de Beppo Levi) est un résultat de la théorie de l'intégration de Lebesgue. Il permet de démontrer le lemme de Fatou et le théorème de convergence dominée. Ce théorème indique que pour une suite croissante de fonctions mesurables positives on a toujours la convergence de la suite de leurs intégrales vers l'intégrale de la limite simple. Le théorème autorise donc, pour une telle suite de fonctions, à intervertir les symboles et . De façon équivalente, il permet, pour une série de fonctions mesurables positives, de permuter les symboles et . Comme corollaire important, si les intégrales sont toutes majorées par un même réel, alors la fonction est intégrable, donc finie presque partout, et l'on peut exprimer le résultat en disant que la suite converge vers pour la norme L. On peut aussi exprimer le théorème en utilisant, au lieu d'une suite croissante, une série de fonctions mesurables à valeurs positives ou nulles. Le théorème dit que l'on a toujours Le corollaire se traduit alors par : si la série des intégrales converge, alors la série des est intégrable donc finie presque partout, c'est-à-dire que pour presque tout , la série converge. Au début du , une nouvelle théorie de l'intégration apparaît sous la forme d'un article de Lebesgue, « Sur une généralisation de l'intégrale définie », publié dans les Comptes Rendus du . Cet article fascine rapidement la communauté mathématique. En 1906, le mathématicien italien Beppo Levi (1875-1961) démontre le théorème de la convergence monotone qui porte en conséquence parfois le nom de théorème de Beppo Levi. Dans le cas particulier où l'espace mesuré est muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage, on retrouve le théorème d'interversion pour les séries doubles à termes positifs. L'aspect remarquable de la théorie de Lebesgue est qu'un critère de convergence faible suffit néanmoins sous certaines hypothèses pour assurer une bonne convergence, la convergence dans .