Méthode de descente infinie

La méthode de descente infinie est un argument mathématique voisin du raisonnement par récurrence, mais aussi du raisonnement par l'absurde, qui utilise le fait qu'une suite d'entiers naturels strictement décroissante est nécessairement finie. Cette méthode repose sur l'une des propriétés des entiers naturels : « tout ensemble non vide d'entiers naturels possède un plus petit élément. » Soit P(n) une propriété faisant intervenir un entier naturel n. On cherche à démontrer que P(n) est fausse pour tout n. Pour cela, on raisonne par l'absurde. On suppose donc que pour un certain entier n, P(n) est vraie. On démontre par ailleurs que pour chaque entier naturel n pour lequel P(n) est vraie, il existe un entier naturel m strictement inférieur à n pour lequel P(m) est également vraie. On peut conclure que P(n) n'est jamais vraie, car la suite des entiers naturels vérifiant la propriété P ne peut pas être strictement décroissante et infinie. Cette méthode sert essentiellement à démontrer qu'il n'existe pas de nombre entier répondant à une certaine propriété, en construisant une nouvelle solution entière strictement plus petite que la précédente (en un sens à préciser dans chaque cas). Si une supposition induit la possibilité de l'existence d'une suite infinie et strictement décroissante d'entiers naturels, alors cette supposition est fausse : en effet on construirait ainsi un entier qui serait plus petit que le plus petit des entiers répondant au problème posé. Proposons-nous de démontrer l'irrationalité de la racine carrée de 2, sans utiliser de théorèmes relatifs à la décomposition des nombres en facteurs.Si la racine de 2 était un nombre rationnel, il existerait deux entiers naturels non nuls p et q tels que , soit (1)On vérifie immédiatement qu'alors, Posons et en particulier, p et q sont strictement positifs. Il vient . Mais Ainsi de suite, on pourrait créer une suite infinie q, q, ... strictement décroissante d'entiers strictement positifs vérifiant (1).