En topologie, une section d'un fibré sur un espace topologique est une fonction continue telle que pour tout point de . Toute section est injective. Une section est une généralisation de la notion de graphe d'une fonction. Le graphe d'une fonction g : X → Y peut être identifié à une fonction prenant ses valeurs dans le produit cartésien E = X×Y de X et Y: Une section est une caractérisation abstraite de ce qu'est un graphe. Soit π : E → X la projection sur le premier facteur du produit cartésien: π(x,y) = x. Alors on appelle graphe toute fonction f pour laquelle π(f(x))=x. La notion d'espace fibré permet d'élargir cette notion de graphe au-delà du cas où E est un produit cartésien. Si π : E → B est un espace fibré, alors une section est le choix d'un point f(x) dans chacune des fibres. La condition π(f(x)) = x signifie simplement que la section au point x doit être située dans la fibre liée à x. (Voir image.) Par exemple, si E est un fibré vectoriel, une section de E est un élément de l'espace vectoriel Ex lié à chaque point x ∈ B. En particulier, un champ de vecteurs sur une variété différentielle régulière M est le choix en chaque point de M, d'un vecteur tangent : il s'agit alors d'une "section" du fibré tangent de M. De même, une 1-forme sur M est une section du fibré cotangent. En général, les espaces fibrés n'ont pas de telles sections (dites globales), il est donc aussi utile de définir des sections dites locales : une section locale d'un espace fibré est une application continue f : U → E où U est un ouvert de B et π(f(x))=x pour tout x dans U. Si (U, φ) est une trivialisation locale de E, où φ est un homéomorphisme de π-1(U) dans U × F (où F est le fibré), alors il existe toujours des sections locales sur U en correspondance bijective avec les applications continues de U dans F. Les sections locales forment un faisceau sur B appelé le faisceau des sections de E. L'espace des sections continues d'un espace fibré E sur U est parfois noté C(U,E), alors que l'espace des sections globales de E est souvent noté Γ(E) ou Γ(B,E).

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Variété différentielle
En mathématiques, les variétés différentielles ou variétés différentiables sont les objets de base de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle. Il s'agit de variétés, « espaces courbes » localement modelés sur l'espace euclidien de dimension n, sur lesquelles il est possible de généraliser une bonne part des opérations du calcul différentiel et intégral. Une variété différentielle se définit donc d'abord par la donnée d'une variété topologique, espace topologique localement homéomorphe à l'espace R.
Fibré principal
En topologie, de manière informelle, un fibré principal sur un espace topologique X est un espace ressemblant localement à un produit de X par un groupe topologique. En particulier, un fibré principal est un espace fibré, mais c'est bien plus encore. Il est muni d'un groupe, le groupe structural, décrivant la manière dont les trivialisations locales se recollent entre elles. La théorie des fibrés principaux recouvre la théorie des fibrés vectoriels, de leurs orientations, de leurs structures riemanniennes, de leurs structures symplectiques, etc.
Classe caractéristique
Une classe caractéristique est un objet mathématique défini et étudié notamment en topologie algébrique et en K-théorie, afin de différencier les fibrés vectoriels. De telles classes sont aujourd'hui comprises comme des invariants cohomologiques. La notion de classe caractéristique répond à une tentative de classification. Plus précisément, si est un fibré vectoriel, une classe caractéristique de est une classe dans la cohomologie de la base qui vérifie la condition suivante, dite de compatibilité : pour toute application continue , on a où est le fibré vectoriel induit sur par .
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