Sphère médiane

vignette| Un polyèdre et sa sphère médiane en bleu. Les cercles rouges sont les limites des calottes sphériques dans lesquelles la surface de la sphère est visible depuis chaque sommet. vignette|Cube et son octaèdre dual avec sphère médiane commune. En géométrie, la sphère médiane ou intersphère d'un polyèdre est une sphère qui est tangente à chaque arête du polyèdre, c'est-à-dire qu'elle touche chacune des arêtes en exactement un point. Tous les polyèdres n'ont pas de sphère médiane, mais pour chaque polyèdre, il existe un polyèdre équivalent, le polyèdre canonique, ayant une sphère médiane. Pour un polyèdre ayant une sphère médiane, une sphère inscrite (qui est tangente à chaque face d'un polyèdre) et une sphère circonscrite (qui intersecte chaque sommet), la sphère médiane se trouve à l'intérieur de la sphère circonscrite, et contient la sphère inscrite. Le rayon de la sphère médiane est appelé rayon médian. Les polyèdres uniformes, y compris les polyèdres réguliers, quasi-réguliers et semi-réguliers et leurs duaux ont tous des sphères médianes. Pour tous les polyèdres réguliers, la sphère inscrite, la sphère médiane et la sphère circonscrite existent toutes et sont concentriques. Si O est la sphère médiane d'un polyèdre P, alors l'intersection de O avec toute face de P est un cercle. Les cercles ainsi formés sur les faces de P forment un ensemble de cercles sur O qui sont tangents entre eux si les faces sur lesquelles ils se trouvent partagent une arête. Par un raisonnement dual, si s est un sommet de P, alors il existe un cône ayant pour sommet s tangent à la sphère O en un cercle ; ce cercle forme la limite d'une calotte sphérique à l'intérieur de laquelle la surface de la sphère est depuis le sommet. Ce cercle est donc l'horizon de la sphère médiane, vu du sommet. Les cercles ainsi formés sont tangents entre eux si les sommets auxquels ils correspondent sont reliés par une arête. Soit un polyèdre P ayant une sphère médiane O, alors le polyèdre dual obtenu par inversion polaire par rapport à O a également O comme sphère médiane.