Problème de Bâle

En mathématiques, le problème de Bâle (connu parfois aussi sous le nom de problème de Mengoli) est un problème renommé de théorie des nombres, qui consiste à demander la valeur de la somme de la série convergente : Le problème a été résolu par Leonhard Euler, qui établit que cette somme vaut : et en donna une première preuve en 1735, puis une deuxième, plus rigoureuse, en 1741. Posé en premier par Pietro Mengoli en 1644, étudié 40 ans plus tard par Jacques Bernoulli né à Bâle, le problème résiste aux attaques des mathématiciens éminents de l'époque. Des valeurs approchées furent d'abord calculées, la valeur demandée étant approximativement égale à . À cause de la lente convergence de la série, une telle valeur approchée n'a pu être trouvée qu'en mettant en œuvre des méthodes d'accélération de convergence, ce qui a notamment été fait par Stirling en 1730 et Euler en 1731. Euler, dont Bâle est également la ville natale, annonce en 1735 la découverte de la somme exacte. Mais ses arguments d’alors font intervenir des produits infinis de façon non rigoureuse. Euler obtient une notoriété immédiate. Il a considérablement généralisé le problème et ses idées seront reprises par le mathématicien allemand Bernhard Riemann dans son article de 1859, dans lequel celui-ci définit la , en démontre les propriétés de base et énonce sa célèbre hypothèse. Six ans plus tard, en 1741, Euler produit une deuxième démonstration. En 1735, la déduction d'Euler de la valeur π/6 utilise essentiellement des observations sur les polynômes, en présumant que ces mêmes propriétés sont toujours vraies pour les séries infinies. Le raisonnement original d'Euler requiert une justification, mais même sans celle-ci, en obtenant la valeur correcte, il est capable de la vérifier numériquement par rapport aux valeurs approchées calculées précédemment par Stirling et lui-même. La concordance qu'il observe lui inspire suffisamment confiance pour annoncer son résultat à la communauté mathématique.