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Concept
Produit eulérien
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en théorie analytique des nombres, un produit eulérien est un développement en produit infini, indexé par les nombres premiers.
Il permet de mesurer la répartition des nombres premiers et est intimement lié à la fonction zêta de Riemann.
Il est nommé en l'honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler.
Euler cherche à évaluer la répartition des nombres premiers p = 2, p = 3, .... Pour cela, il définit, pour tout réel s > 1 :
et il établit la formule suivante :
Sa définition et sa formule sont en fait valides sur tout le demi-plan des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à 1.
Euler parvient par ailleurs à résoudre le problème de Mengoli, qui consiste à déterminer la valeur de . Il annonce sa résolution en 1735 (ζ(2) = π/6) et la publie en 1743.
Compte tenu de l'expression ci-dessus de ζ sous forme d'un produit infini, il obtient donc :
Euler détermine une première loi sur la fréquence des nombres premiers, en démontrant (voir l'article détaillé) la divergence de la série des inverses des nombres premiers :
et énonce même qu'elle est et qu'.
Le théorème des nombres premiers précisera un équivalent : pn ~ n ln n.
Caractère de Dirichlet
Dirichlet souhaite démontrer que les nombres premiers dans une classe m de Z/nZ sont en nombre infini, si m et n sont premiers entre eux. Il utilise les caractères portant maintenant son nom et, au cours d'un calcul explicité dans le paragraphe Produit eulérien de l'article sur ces caractères, aboutit au produit suivant :
Ici χ désigne un caractère de Dirichlet, l'ensemble des caractères est noté et s représente un nombre réel strictement supérieur à un. Dirichlet établit alors une famille de produits eulériens :
En effet, la fonction χ étant complètement multiplicative, le calcul d'Euler s'applique de la même manière.
La fonction L(s, χ) est appelée série L de Dirichlet du caractère χ.
La convergence est absolue si s est un nombre complexe avec une partie réelle > 1. Par prolongement analytique, cette fonction peut être étendue à une fonction méromorphe sur le plan complexe entier.
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