Somme télescopique

En analyse, l'expression somme télescopique désigne informellement une somme dont les termes s'annulent de proche en proche : La formulation vient de l'image d'un télescope que l'on replie. Lorsqu'on effectue cette simplification, on emploie en général la phrase « l'expression se simplifie par télescopage ». Si est une suite numérique, la série télescopique correspondante est la série de terme général . La formule de télescopage s'écrit alorsLa convergence de la série télescopique équivaut donc à la convergence de la suite , et On peut voir cette formule comme une version discrète de la formule d'intégration : . L'exemple le plus connu est peut-être la formule des séries géométriques : on a ou, plus formellement, Les formules et s'obtiennent par télescopage après avoir écrit . La formule concernant la suite de Fibonacci : s'obtient en écrivant . La formule de la crosse de Hockey pour les coefficients binomiaux : s'obtient par télescopage en utilisant la relation de Pascal : . La relation remarquable peut s'obtenir par télescopage. En effet, si , alors On en déduit Plus généralement, les sommes des premières puissances p-ièmes des entiers peuvent se calculer de proche en proche grâce à la formule de récurrence (Pascal 1655) : , formule se démontrant par télescopage et à l'aide de la formule du binôme. En effet, par télescopage : . Et par la formule du binôme, d'où la formule annoncée. La décomposition en éléments simples permet parfois une réécriture sous forme télescopique ; par exemple, puisque on a (si ) : De nombreuses séries trigonométriques admettent une représentation comme différence permettant un télescopage : Plus généralement, les expressions closes suivantes des sommes et pour :peuvent s'obtenir en multipliant par , en linéarisant, puis en télescopant. Il convient cependant, dans le cas des séries, de ne pas négliger les questions de convergence ; on pourrait sinon en déduire, par exemple, que (mais les résultats ainsi obtenus ne sont pas toujours dénués de sens ; on pourra à ce sujet consulter l'article série divergente).