Somme des angles d'un triangle
thumb|upright=1.5|Deux méridiens sont des "droites" (en géométrie sphérique) perpendiculaires à l'équateur. Dans ce cas, un triangle dont les angles mesurent respectivement 90°, 50° et 90° peut exister. En géométrie euclidienne (voir encadré), ce n'est pas possible : si un triangle possède un angle de 90° et un angle de 50°, le troisième angle doit mesurer 40°. En géométrie euclidienne, la somme des angles d'un triangle est égale à l'angle plat, soit 180 degrés ou π radians. Ce résultat est connu et démontré par Euclide, dans ses Éléments. Il est équivalent à l'axiome des parallèles d'Euclide : Par un point donné, on peut mener une et une seule parallèle à une droite donnée. Mais il est possible de construire, tout aussi rigoureusement, d'autres géométries, dites non euclidiennes, qui ne respectent pas cet axiome. La somme des angles d'un triangle n'est alors plus constante, mais elle permet de classifier ces géométries, la valeur de 180° gardant son importance : les géométries pour lesquelles la somme des angles d'un triangle est inférieure à 180° sont dites hyperboliques, celles pour lesquelles elle est supérieure à 180° sont dites elliptiques (comme la géométrie sphérique utilisée pour modéliser la géométrie à la surface de planètes comme la Terre). En géométrie euclidienne (la géométrie souvent considérée comme usuelle) la somme des angles de tout triangle est égale à 180°. Ainsi, la somme des angles est un invariant des triangles, qui permet de résoudre de nombreux problèmes élémentaires de résolution d'un triangle. Lorsqu'on parle de somme des angles d'un triangle, il est d'usage de considérer les mesures des angles géométriques, la proposition s'écrivant de façon plus rigoureuse (mais aussi plus lourde) : La démonstration classique depuis Euclide repose sur le tracé de la droite parallèle à un côté du triangle et passant par le sommet qui n'appartient pas à ce côté. Ainsi, la propriété sur la somme des angles d'un triangle s'appuie sur l'axiome des parallèles. Différentes rédactions en ont été proposées au cours des siècles.
