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En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane formée par trois points (appelés sommets) et par les trois segments qui les relient (appelés côtés), délimitant un domaine du plan appelé intérieur. Lorsque les sommets sont distincts deux à deux, en chaque sommet les côtés délimitent un angle intérieur, d'où vient la dénomination de « triangle ». Le triangle est aussi le polygone le plus simple qui délimite une portion du plan et sert ainsi d'élément fondamental pour le découpage et l'approximation de surfaces. De nombreuses constructions géométriques de points, droites et cercles associés à un triangle sont liées par des propriétés qui étaient en bonne part déjà énoncées dans les Éléments d'Euclide, près de 300 ans avant Jésus-Christ. Les relations entre les mesures des angles et les longueurs des côtés sont notamment à l'origine de techniques de calcul de distances par triangulation. Le développement de ces techniques constitue d'ailleurs une branche des mathématiques app

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On the power of combinatorial and spectral invariants

We extend the traditional spectral invariants (spectrum and angles) by a stronger polynomial time computable graph invariant based on the angles between projections of standard basis vectors into the eigenspaces (in addition to the usual angles between standard basis vectors and eigenspaces). The exact power of the new invariant is still an open problem. We also define combinatorial invariants based on standard graph isomorphism heuristics and compare their strengths with the spectral invariants. In particular, we show that a simple edge coloring invariant is at least as powerful as all these spectral invariants. (C) 2009 Elsevier Inc. All rights reserved.

2010

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New Moduli For Banach Spaces

Grigory Ivanov

Modifying the moduli of supporting convexity and supporting smoothness, we introduce new moduli for Banach spaces which occur, for example, as lengths of catheti of right-angled triangles (defined via so-called quasiorthogonality). These triangles have two boundary points of the unit ball of a Banach space as endpoints of their hypotenuse, and their third vertex lies in a supporting hyperplane of one of the two other vertices. Among other things, it is our goal to quantify via such triangles the local deviation of the unit sphere from its supporting hyperplanes. We prove respective Day-Nordlander-type results involving generalizations of the modulus of convexity and the modulus of Banas.

Tusi Mathematical Research Group2017

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Linear flavor-wave theory for fully antisymmetric SU( N ) irreducible representations

Francisco Hyunkyu Kim, Frédéric Mila, Pierre Marcel Nataf, Karlo Penc

The extension of the linear flavor-wave theory to fully antisymmetric irreducible representations (irreps) of SU(N) is presented in order to investigate the color order of SU(N) antiferromagnetic Heisenberg models in several two-dimensional geometries. The square, triangular, and honeycomb lattices are considered with m fermionic particles per site. We present two different methods: the first method is the generalization of the multiboson spin-wave approach to SU(N) which consists of associating a Schwinger boson to each state on a site. The second method adopts the Read and Sachdev bosons which are an extension of the Schwinger bosons that introduces one boson for each color and each line of the Young tableau. The two methods yield the same dispersing modes, a good indication that they properly capture the semiclassical fluctuations, but the first one leads to spurious flat modes of finite frequency not present in the second one. Both methods lead to the same physical conclusions otherwise: long-range Néel-type order is likely for the square lattice for SU(4) with two particles per site, but quantum fluctuations probably destroy order for more than two particles per site, with N=2m. By contrast, quantum fluctuations always lead to corrections larger than the classical order parameter for the tripartite triangular lattice (with N=3m) or the bipartite honeycomb lattice (with N=2m) for more than one particle per site, m>1, making the presence of color very unlikely except maybe for m=2 on the honeycomb lattice, for which the correction is only marginally larger than the classical order parameter.

2017

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MATH-410: Riemann surfaces

This course is an introduction to the theory of Riemann surfaces. Riemann surfaces naturally appear is mathematics in many different ways: as a result of analytic continuation, as quotients of complex domains under discontinuous group actions, as algebraic curves.

MATH-126: Geometry for architects II

Ce cours traite des 3 sujets suivants : la perspective, la géométrie descriptive, et une initiation à la géométrie projective.

CS-341: Introduction to computer graphics

The students study and apply fundamental concepts and algorithms of computer graphics for rendering, geometry synthesis, and animation. They design and implement their own interactive graphics programs.

Cercle circonscrit

En géométrie, un cercle circonscrit à un polygone est un cercle qui passe par tous les sommets du polygone. Le polygone est alors dit inscrit dans le cercle : on parle de polygone inscriptible ou parf

Aire (géométrie)

thumb|L'aire du carré vaut ici 4. En mathématiques, l'aire est une grandeur relative à certaines figures du plan ou des surfaces en géométrie dans l'espace. Le développement de cette notion mathémati

Cercle

En géométrie euclidienne, un cercle est une courbe plane fermée constituée de points situés à égale distance d'un point nommé centre. Cette distance est appelée rayon du cercle. Dans le plan euclidi