Arithmétique multiprécision

L'arithmétique multiprécision désigne l'ensemble des techniques mises en œuvre pour manipuler dans un programme informatique des nombres (entiers, rationnels, ou flottants principalement) de taille arbitraire. Il s'agit d'une branche de l'arithmétique des ordinateurs. On oppose l'arithmétique multi-précision à l'arithmétique en simple ou double précision, comme celle spécifiée par le standard IEEE 754 pour les nombres flottants. En effet, l'arithmétique simple ou double précision ne s'occupe que des nombres de 32 ou 64 bits, pour lesquels les opérations de base sont fournies par le processeur, alors que l'arithmétique multiprécision s'occupe des opérations sur des quantités de taille (nombre de chiffres) quelconque, pour lesquelles la seule limite est celle de la mémoire disponible. De nombreux algorithmes ont été développés pour effectuer efficacement les opérations usuelles sur des nombres comportant un très grand nombre de chiffres ; nous en donnons quelques-uns, ainsi que leurs complexités, qui s'expriment en fonction de n, le nombre de chiffres des quantités manipulées. L'addition de deux nombres à n chiffres peut se faire en O(n) opérations avec une méthode naïve. Ce coût est asymptotiquement négligeable par rapport aux autres coûts, et est donc fréquemment négligé. Algorithme de multiplication Les algorithmes de multiplication rapide de grands entiers sont au cœur de ce domaine. En effet, de nombreuses opérations plus complexes, à commencer par la division, utilisent la multiplication d'entiers comme brique de base, et l'efficacité des algorithmes utilisés repose de façon essentielle sur celle de la multiplication sous-jacente. On note le coût de la multiplication de deux nombres à n chiffres. Plusieurs méthodes améliorent la complexité de cette opération par rapport à la méthode de base ("poser une multiplication"). Les plus avancées sont l'algorithme de Schönhage-Strassen, qui donne , et l'algorithme de Fürer, qui donne .