Théorie de l'utilité espérée

La théorie de l'utilité espérée (aussi appelée théorie EU, de l'anglais « expected utility ») est une théorie de la décision en environnement risqué développée par John von Neumann et Oskar Morgenstern dans leur ouvrage Theory of Games and Economic Behavior (1944). Introduisons d'abord quelques notations: L'incertitude est décrite par un ensemble d'états du monde partitionné par la famille de parties (de taille ). Un élément de est appelé événement. Une variable aléatoire est une fonction qui associe à chaque un résultat noté . L'ensemble des résultats est noté , étant un sous-ensemble de . On écrit l'ensemble des variables aléatoires. Le décideur est supposé connaître les distributions de probabilités de ces variables aléatoires. La distribution de la variable aléatoire est notée .La relation binaire signifie "est préféré ou indifférent à". Elle compare des distributions de probabilités (ou loteries), c'est-à-dire des projets risqués de la forme où est le résultat obtenu avec la probabilité . On écrit l'ensemble des distributions de probabilités. La règle de décision développée par Von Neumann et Morgenstern en 1944, connue sous le nom "d'utilité espérée", repose sur les hypothèses suivantes, qui sont appelées axiomes et sont postulées sur la relation . Axiome 1 (préordre total). est un préordre total. Cela signifie que : ou (totalité); (réflexivité); (transitivité). Axiome 2 (Monotonie). est monotone si pour toutes loteries et dans on a . Axiome 3 (Continuité). est continue si pour toutes loteries et telles que , tels que : . Axiome 4 (Indépendance). est indépendante si pour toutes loteries et on a : Nous pouvons maintenant présenter le théorème de représentation de Von Neumann et Morgenstern : Théorème. Pour une loterie , on définit la fonction espérance-utilité par où u est une fonction à valeurs réelles. Étant donné une relation de préférences , les deux propositions suivantes sont équivalentes: (i) satisfait les axiomes 1-4; (ii) Il existe une fonction à valeurs réelles positive à une transformation affine croissante près telle .