Analyse vectorielle

L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs suffisamment réguliers des espaces euclidiens, c'est-à-dire les applications différentiables d'un ouvert d'un espace euclidien à valeurs respectivement dans et dans . Du point de vue du mathématicien, l'analyse vectorielle est donc une branche de la géométrie différentielle. Cette dernière inclut l'analyse tensorielle qui apporte des outils plus puissants et une analyse plus concise entre autres des champs de vecteurs. Mais l'importance de l'analyse vectorielle provient de son utilisation intensive en physique et dans les sciences de l'ingénieur. C'est de ce point de vue qu'elle sera présentée dans l'article, et c'est pourquoi elle sera le plus souvent limitée au cas où est l'espace usuel à trois dimensions. Dans ce cadre, un champ de vecteurs associe à chaque point de l'espace un vecteur (à trois composantes réelles), tandis qu'un champ de scalaires y associe un réel. Par exemple, dans le cas de l'eau d'un lac, la donnée de sa température en chaque point forme un champ de scalaires, et celle de sa vitesse en chaque point, un champ de vecteurs (pour une approche plus théorique, voir Géométrie différentielle). Le calcul vectoriel et l'analyse vectorielle furent développés à la fin du par J. Willard Gibbs et Oliver Heaviside à partir de la théorie des quaternions (due à Hamilton) ; la plupart des notations et de la terminologie furent établies par Gibbs et Edwin Bidwell Wilson dans leur livre de 1901, Vector Analysis (Analyse vectorielle). Le gradient, la divergence et le rotationnel sont les trois principaux opérateurs différentiels linéaires du premier ordre. Cela signifie qu'ils ne font intervenir que des dérivées partielles (ou différentielles) premières des champs, à la différence, par exemple, du laplacien qui fait intervenir des dérivées partielles du second ordre. On les rencontre en particulier : en mécanique des fluides (équations de Navier-Stokes) ; en électromagnétisme, où ils permettent d'exprimer les propriétés du champ électromagnétique.

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Notation for differentiation

In differential calculus, there is no single uniform notation for differentiation. Instead, various notations for the derivative of a function or variable have been proposed by various mathematicians. The usefulness of each notation varies with the context, and it is sometimes advantageous to use more than one notation in a given context. The most common notations for differentiation (and its opposite operation, the antidifferentiation or indefinite integration) are listed below.

Dérivée totale

En analyse, la dérivée totale d'une fonction est une généralisation du nombre dérivé pour les fonctions à plusieurs variables. Cette notion est utilisée dans divers domaines de la physique et tout particulièrement en mécanique des milieux continus et en mécanique des fluides dans lesquels les grandeurs dépendent à la fois du temps et de la position. Soit une fonction à plusieurs variables et , , fonctions de .

Gradient

vignette|Chaque champ scalaire est représenté par un dégradé (blanc = valeur basse, noir = valeur haute). Chaque gradient est un champ vectoriel, représenté par des flèches bleues ; chacune pointe dans la direction où le champ scalaire croît le plus vite. vignette|La fonction à deux variables f(x, y) = xe−(x2 + y2) correspond à la température (bleu = valeur basse = froid, rouge = valeur haute = chaud). Le gradient de f est un champ vectoriel, représenté par les flèches bleues ; chacune pointe dans la direction où la température croît le plus vite.

MATH-201: Analysis III

Calcul différentiel et intégral: Eléments d'analyse vectorielle, intégration par partie, intégrale curviligne, intégrale de surface, théorèmes de Stokes, Green, Gauss, fonctions harmoniques; Eléments

MATH-106(f): Analysis II

Étudier les concepts fondamentaux d'analyse et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles de plusieurs variables.

PHYS-201(d): General physics: electromagnetism

The topics covered by the course are concepts of fluid mechanics, waves, and electromagnetism.

Intégrales de surface : changement de variables MATH-203(a): Analysis III

Explore les intégrales de surface, les changements de variables et les propriétés des surfaces régulières.

Divergence et théorèmes de Stokes MATH-202(c): Analysis III

Introduit la divergence et les théorèmes de Stokes, en comparant les intégrales de surface et de volume, et explique le paramétrage des surfaces et des limites.

Courbe Integrals des champs vectoriaux

Explore les intégrales de la courbe des champs vectoriels, en mettant l'accent sur les considérations d'énergie pour le mouvement contre ou avec le vent, et introduit des vecteurs tangents et normaux unitaires.

Blow-up, partial regularity and turbulence in incompressible fluid dynamics

Silja Noëmi Aline Haffter

Weak solutions arise naturally in the study of the Navier-Stokes and Euler equations both from an abstract regularity/blow-up perspective and from physical theories of turbulence. This thesis studies

EPFL2022

Extension of miniature neutron scintillators features in CROCUS: novel acquisition scheme and extended flux range

Colin Rochat

The goal of this work was the improvement of the capabilities of a miniature neutron detector, for easing its use, and extending its range of applicability. Firstly, the Red Pitaya STEMlab 125-14 was

2021

Controlling the fate of stem cells in vitro is a key challenge towards using these cells in clinical applications. Adult stem cells (ASC) are known to reside in complex microenvironments called niches

2011

Géométrie différentielle

vignette|Exemple d'objets étudiés en géométrie différentielle. Un triangle dans une surface de type selle de cheval (un paraboloïde hyperbolique), ainsi que deux droites parallèles. En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une régularité suffisante pour envisager la notion de dérivation, et les fonctions définies sur ces variétés.

Calcul infinitésimal

Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeures complémentaires : Le calcul différentiel, qui établit une relation entre les variations de plusieurs fonctions, ainsi que la notion de dérivée. La vitesse, l'accélération, et les pentes des courbes des fonctions mathématiques en un point donné peuvent toutes être décrites sur une base symbolique commune, les taux de variation, l'optimisation et les taux liés.

Géométrie euclidienne

La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions de droite, de plan, de longueur, d'aire y sont exposées et forment le support des cours de géométrie élémentaire. La conception de la géométrie est intimement liée à la vision de l'espace physique ambiant au sens classique du terme.