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Concept
Intégrale de surface
Résumé
En mathématiques, une intégrale de surface est une intégrale définie sur toute une surface qui peut être courbe dans l'espace. Pour une surface donnée, on peut intégrer sur un champ scalaire ou sur un champ vectoriel.
Les intégrales de surface ont de nombreuses applications : par exemple, en physique, dans la théorie classique de l'électromagnétisme.
Pour exprimer de façon explicite l'intégrale de surface, il faut généralement paramétrer la surface S en question en considérant un système de coordonnées curvilignes, comme la longitude et la latitude sur une sphère. Une fois le paramétrage x(s,t) trouvé, où s et t varient dans une région du plan, l'intégrale de surface d'un champ scalaire est donnée par la formule de changement de variables :
En conséquence, l'aire de S est donnée par :
Si on paramètre la sphère de rayon par
où varie de 0 à et de 0 à , on aura
et
Le calcul de donne, après simplification, .
Par conséquent l'intégrale sur la sphère S de rayon r vaut
Si on prend on retrouvera bien la valeur de l'aire de la sphère.
thumb|Un champ vectoriel sur une surface.
Soit v un champ de vecteurs sur S : pour tout x de S, v(x) est un vecteur.
L'intégrale de surface peut être définie composante par composante à partir de la définition de l'intégrale d'un champ scalaire; il s'agit d'un vecteur. C'est par exemple le cas pour l'expression du champ électrique créé en un point donné par une surface chargée, ou pour le champ gravitationnel créé en ce point par un objet sans épaisseur.
Il est aussi possible d'intégrer la composante normale du champ de vecteurs; le résultat est alors un scalaire. Si, par exemple, un fluide traverse S, et si v(x) représente la vitesse locale du fluide au point x. Le flux (ou, ici, le débit) est défini comme étant la quantité de fluide traversant S par unité de temps.
Comme on le voit par cet exemple, si le champ vectoriel est tangent à S en tous ses points, alors le flux est nul, car le fluide ne s'écoule que parallèlement à S, et ne la traverse jamais.
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