Courbe elliptique

En mathématiques, une courbe elliptique est un cas particulier de courbe algébrique, munie entre autres propriétés d'une addition géométrique sur ses points. Les courbes elliptiques ont de nombreuses applications dans des domaines très différents des mathématiques : elles interviennent ainsi en mécanique classique dans la description du mouvement des toupies, en théorie des nombres dans la démonstration du dernier théorème de Fermat, en cryptologie dans le problème de la factorisation des entiers ou pour fabriquer des codes performants. Contrairement à ce que son nom pourrait laisser croire, l'ellipse n'est pas une courbe elliptique. Le nom des courbes elliptiques vient historiquement de leur association avec les intégrales elliptiques, elles-mêmes appelées ainsi car elles servent en particulier à calculer la longueur d'arcs d'ellipses. À l'aide d'un choix adapté de coordonnées, une courbe elliptique peut être représentée dans un plan par une équation cubique de la forme : y

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Corps commutatif

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This course introduces the basics of cryptography. We review several types of cryptographic primitives, when it is safe to use them and how to select the appropriate security parameters. We detail how they work and sketch how they can be implemented.

MATH-328: Algebraic curves

Algebraic geometry is the common language for many branches of modern research in mathematics. This course gives an introduction to this field by studying algebraic curves and their intersection theory.

MATH-410: Riemann surfaces

This course is an introduction to the theory of Riemann surfaces. Riemann surfaces naturally appear is mathematics in many different ways: as a result of analytic continuation, as quotients of complex domains under discontinuous group actions, as algebraic curves.

On the Mordell-Weil lattice of y(2) = x(3) + bx plus t(3n+1) in characteristic 3

Gauthier Leterrier

We study the elliptic curves given by y(2) = x(3) + bx + t(3n+1) over global function fields of characteristic 3 ; in particular we perform an explicit computation of the L-function by relating it to the zeta function of a certain superelliptic curve u(3) + bu = v(3n+1). In this way, using the Neron-Tate height on the Mordell-Weil group, we obtain lattices in dimension 2.3(n) for every n >= 1, which improve on the currently best known sphere packing densities in dimensions 162 (case n = 4) and 486 (case n = 5). For n = 3, the construction has the same packing density as the best currently known sphere packing in dimension 54, and for n = 1 it has the same density as the lattice E-6 in dimension 6.

SPRINGER INT PUBL AG2022

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Computing Cyclic Isogenies between Principally Polarized Abelian Varieties over Finite Fields

Marius Lorenz Vuille

Abelian varieties are fascinating objects, combining the fields of geometry and arithmetic. While the interest in abelian varieties has long time been of purely theoretic nature, they saw their first real-world application in cryptography in the mid 1980's, and have ever since lead to broad research on the computational and the arithmetic side. The most instructive examples of abelian varieties are elliptic curves and Jacobian varieties of hyperelliptic curves, and they come naturally equipped with some additional structure, called a principal polarization. Morphisms between abelian varieties that respect both the geometric and the arithmetic structure are called isogenies. In this thesis we focus on the computation of isogenies with cyclic kernel between principally polarized abelian varieties over finite fields.

EPFL2020

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Side-channel attacks on SIKE

Natacha Yolande Emmanuel Marie Linard de Guertechin

This thesis presents, firstly, an introduction to the current state of the art in isogeny-based cryptography, and secondly, a side-channel differential power analysis of SIKE—an isogeny-based key exchange algorithm—in semi-static mode. These attacks have been realized on an ARM implementation of SIKEp434 in the pqm4 library which is itself based on the reference implementation of the SIKE submission to the NIST post-quantum standardization process. We have analyzed the power consumption of an STM32F3 board which features an ARM Cortex-M4 microcontroller through Pearson’s correlation in the Hamming Weight model. We investigated an information leak of the 3-points Ladder involved in the decapsulation mechanism of SIKEp434. As this function was used to compute P + [m]Q where m is Bob’s private key and P, Q are two public points on a known elliptic curve, we showed that we can recover every bit of Bob’s private key by exploiting the power consumption as a bit distinguisher through a correlation with the result of an ADDS assembly instruction. A proof of leakage of the ADDS instruction of ARM has been demonstrated in this thesis. Ideas for countermeasures to prevent this attack are discussed.

2020

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