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Concept
Vecteur de Killing
Résumé
En mathématiques, un vecteur de Killing, ou champ de Killing, est un champ vectoriel sur une variété (pseudo-)riemannienne qui conserve la métrique de cette variété et met en évidence les symétries continues de celle-ci.
Intuitivement un vecteur de Killing peut être vu comme un « champ de déplacement » , c'est-à-dire associant à un point M de la variété le point M' défini par le déplacement de M le long de la courbe passant par M dont est le vecteur tangent. Sa propriété fondamentale est que ce champ représente une isométrie, c'est-à-dire qu'il conserve les distances. Ainsi, la distance entre deux points M et N est égale à la distance entre leurs images M' et N' par l'action de .
Appliqué à une surface (variété de dimension 2) vue comme étant plongée dans un espace à trois dimensions, un tel champ permet par exemple de la faire « glisser » sur elle-même, sans qu'elle ne se déchire ni se plisse.
La formulation mathématique de cette propriété est appelée équation de Killing. Elle stipule que la dérivée de Lie de la métrique riemannienne par rapport au vecteur de Killing est nulle, soit, dans un système de coordonnées quelconque,
D étant la dérivée covariante associée à la métrique.
À partir de celle-ci, on en déduit un certain nombre de propriétés associées aux vecteurs de Killing.
L'éponyme du vecteur est Wilhelm Killing (-), mathématicien allemand qui l'a introduit en .
En contractant l'équation de Killing avec la métrique, on obtient immédiatement :
Un vecteur de Killing est toujours à divergence nulle.
Le produit scalaire d'un vecteur de Killing avec le vecteur tangent d'une géodésique est constant le long d'une trajectoire. Si on note ce vecteur tangent, on a donc
l'opérateur représentant la dérivée par rapport à un paramètre affine de la géodésique.
Cette propriété est particulièrement utile pour intégrer l'équation des géodésiques. En effet, l'existence d'un nombre suffisant de vecteurs de Killing permet alors d'exhiber un nombre suffisant de constantes du mouvement qui permettent la résolution immédiate et explicite de l'équation des géodésiques.
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