Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Octonion déployé
Résumé
En mathématiques, les octonions déployés ou octonions fendus sont une extension non associative des quaternions (ou des coquaternions). Ils diffèrent des octonions par la signature de la forme quadratique : les octonions déployés ont une signature mixte (4,4) alors que les octonions ont une signature définie positive (8,0).
Les octonions et les octonions déployés peuvent être obtenus par la construction de Cayley–Dickson en définissant une multiplication sur les paires de quaternions. Nous introduisons une nouvelle unité imaginaire l et nous écrivons une paire de quaternions (a, b) sous la forme a + lb. Le produit est défini par la règle suivante :
où
Si est choisi égal à - 1, nous obtenons les octonions. Si, à la place, il est choisi égal à + 1, nous obtenons les octonions déployés. On peut aussi obtenir les octonions déployés via un doublement de Cayley-Dickson des coquaternions. Ici, quel que soit le choix de (±1), cela donnera les octonions déployés. Voir aussi les nombres complexes déployés en général.
Une base pour les octonions déployés est donnée par l'ensemble {1, i, j, k, l, li, lj, lk}. Chaque octonion déployé x peut être écrit comme une combinaison linéaire des éléments de la base,
vignette|Plan mnémotechnique de Fano pour Octonions déployés, le cercle jouant le rôle de *(-1)
avec des coefficients réels xa. Par linéarité, la multiplication des octonions déployés est complètement déterminée par la table de multiplication suivante :
Le conjugué d'un octonion déployé x est donné par
comme pour les octonions. La forme quadratique (ou norme carrée) sur x est donnée par
Cette norme est la norme pseudo-euclidienne standard sur . En raison de la signature de fente, la norme N est isotropique, ce qui signifie qu'il existe des éléments x différents de zéro pour lesquels N(x) = 0. Un élément x possède un inverse (à deux faces) si et seulement si N(x) ≠ 0. Dans ce cas, l'inverse est donné par
Les octonions déployés, comme les octonions, ne sont pas commutatifs ni associatifs.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.