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Concept
Algèbre à division
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en algèbre, une algèbre à division est une algèbre sur un corps avec la possibilité de diviser par un élément non nul (à droite et à gauche). Toutefois, dans une algèbre à division, la multiplication peut ne pas être commutative, ni même associative.
Un anneau à division ou corps gauche, comme celui-des quaternions, est une algèbre associative à division sur son centre, ou sur un sous-corps de celui-ci.
Soit A un anneau unitaire.
L'élément 0 n'est pas inversible, sauf si A est nul.
Si A est non nul et si tout élément excepté 0 est inversible, on dit que c'est un à division ou algèbre associative à division (voir plus loin)
Si de plus l'anneau est commutatif, on dit que c'est un corps commutatif et sinon, un corps gauche.
On peut parfois rencontrer le terme anneau à division au lieu du terme algèbre associative à division.
Si K est un corps (commutatif) on appelle algèbre associative sur K, un ensemble (non vide) muni de trois opérations traditionnellement notées telles que :
est un anneau,
est espace vectoriel sur K
Pour tous et tout , .
Si est un anneau, l'ensemble des éléments de qui commutent avec tous les éléments de A est appelé le centre de et il est facile de voir que c'est lui-même un anneau, mais commutatif, même si ne l'est pas.
En conséquence, si tout élément non nul de admet un inverse, son centre est un corps (commutatif) K et ainsi est naturellement muni d'une structure de K-espace vectoriel, et donc d'une structure de K-algèbre.
Bilan : un anneau à division est une algèbre associative à division (sur son centre). La réciproque est triviale.
Dans les pays anglophones, le terme field désigne le plus souvent un corps (commutatif), tandis qu'on dit associative division algebra, division ring ou skew field (corps gauche) quand la multiplication n'est pas commutative.
L'algèbre des quaternions, ainsi notée en l'honneur de leur découvreur William Rowan Hamilton, est associative à division et non commutative.
L'algèbre à division des octonions n'est pas associative mais seulement alternative.
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