SuperalgèbreEn mathématiques et en physique théorique, une superalgèbre est une algèbre Z2 - graduée. En d'autres termes, c'est une algèbre sur un anneau ou un corps commutatif avec une décomposition en parties « paire » et « impaire » et un opérateur de multiplication qui respecte la graduation. Le préfixe super vient de la théorie de la supersymétrie en physique théorique. Les superalgèbres et leurs représentations, les supermodules, fournissent un cadre algébrique pour formuler cette théorie.
Cohomology ringIn mathematics, specifically algebraic topology, the cohomology ring of a topological space X is a ring formed from the cohomology groups of X together with the cup product serving as the ring multiplication. Here 'cohomology' is usually understood as singular cohomology, but the ring structure is also present in other theories such as de Rham cohomology. It is also functorial: for a continuous mapping of spaces one obtains a ring homomorphism on cohomology rings, which is contravariant.
Hilbert series and Hilbert polynomialIn commutative algebra, the Hilbert function, the Hilbert polynomial, and the Hilbert series of a graded commutative algebra finitely generated over a field are three strongly related notions which measure the growth of the dimension of the homogeneous components of the algebra. These notions have been extended to filtered algebras, and graded or filtered modules over these algebras, as well as to coherent sheaves over projective schemes.
Filtration (mathématiques)En mathématiques, une filtration sur un ensemble est une suite de parties croissante ou décroissante pour l'inclusion. Un espace filtré est un ensemble muni d'une filtration compatible avec sa structure. Les filtrations sont utilisées notamment : en algèbre pour ramener par exemple l'étude d'un espace vectoriel de dimension infinie à celle d'une suite d'espaces de dimension finie, en topologie pour décomposer un espace topologique à l'aide de CW-complexes finis, en statistique exploratoire pour modéliser un dendogramme de données brutes, y appliquer la notion d'homologie persistante, et ouvrir la voie à l'analyse topologique de données mais aussi en théorie des probabilités pour définir entre autres certaines classes de processus stochastiques, comme les martingales, ou encore les chaines de Markov.
Cup-produitEn topologie algébrique (une branche des mathématiques), le cup-produit est une opération binaire définie sur les groupes de cohomologie qui permet d'assembler des cocycles. Cette opération est graduée, associative et distributive, ce qui permet de définir l'. Introduite à l'origine en cohomologie singulière, des constructions analogues existent pour différentes théories cohomologiques. Le cup-produit se généralise sous la forme du .
Graded-commutative ringIn algebra, a graded-commutative ring (also called a skew-commutative ring) is a graded ring that is commutative in the graded sense; that is, homogeneous elements x, y satisfy where |x | and |y | denote the degrees of x and y. A commutative (non-graded) ring, with trivial grading, is a basic example. An exterior algebra is an example of a graded-commutative ring that is not commutative in the non-graded sense. A cup product on cohomology satisfies the skew-commutative relation; hence, a cohomology ring is graded-commutative.
Alternating algebraIn mathematics, an alternating algebra is a Z-graded algebra for which xy = (−1)^deg(x)deg(y)yx for all nonzero homogeneous elements x and y (i.e. it is an anticommutative algebra) and has the further property that x2 = 0 for every homogeneous element x of odd degree. The differential forms on a differentiable manifold form an alternating algebra. The exterior algebra is an alternating algebra. The cohomology ring of a topological space is an alternating algebra.
Homogeneous coordinate ringIn algebraic geometry, the homogeneous coordinate ring R of an algebraic variety V given as a subvariety of projective space of a given dimension N is by definition the quotient ring R = K[X0, X1, X2, ..., XN] / I where I is the homogeneous ideal defining V, K is the algebraically closed field over which V is defined, and K[X0, X1, X2, ..., XN] is the polynomial ring in N + 1 variables Xi. The polynomial ring is therefore the homogeneous coordinate ring of the projective space itself, and the variables are the homogeneous coordinates, for a given choice of basis (in the vector space underlying the projective space).
Associated graded ringIn mathematics, the associated graded ring of a ring R with respect to a proper ideal I is the graded ring: Similarly, if M is a left R-module, then the associated graded module is the graded module over : For a ring R and ideal I, multiplication in is defined as follows: First, consider homogeneous elements and and suppose is a representative of a and is a representative of b. Then define to be the equivalence class of in . Note that this is well-defined modulo . Multiplication of inhomogeneous elements is defined by using the distributive property.
Monoïde (théorie des catégories)La notion de monoïde ou d’objet monoïdal en théorie des catégories généralise la notion algébrique du même nom ainsi que plusieurs autres structures algébriques courantes. Il s'agit formellement d'un objet d'une catégorie monoïdale vérifiant certaines propriétés réminiscentes de celles du monoïde algébrique. Soit une catégorie monoïdale. Un triplet où M est un objet de la catégorie C ; est un morphisme appelé « multiplication » ; est un morphisme appelé « unité » ; est appelé monoïde lorsque les diagrammes suivants commutent : avec l'associativité, l'identité à gauche et l'identité à droite de la catégorie monoïdale.
