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Concept
Cup-produit
Résumé
En topologie algébrique (une branche des mathématiques), le cup-produit est une opération binaire définie sur les groupes de cohomologie qui permet d'assembler des cocycles.
Cette opération est graduée, associative et distributive, ce qui permet de définir l'. Introduite à l'origine en cohomologie singulière, des constructions
analogues existent pour différentes théories cohomologiques. Le cup-produit se généralise sous la forme du .
Il n'existe pas de cup-produit en homologie, mais on peut définir un cap-produit ou invoquer la dualité de Poincaré si la dimension de l'espace convient.
On donne ici la définition pour la cohomologie singulière d'un espace topologique X, à coefficients dans un anneau commutatif.
Le cup-produit est une opération
correspondant à la composition :
associée aux complexes de chaînes de X et X × X, avec K l'application de Künneth et la diagonale Δ : X → X × X.
Le cup-produit d'une p-cochaîne c et d'une q-cochaîne d, appliqué à un (p + q)-simplexe singulier σ, est donné par :
où ι désigne, pour toute partie S de {0, 1, ... , p + q}, le plongement canonique du simplexe engendré par S dans le (p + q)-simplexe standard.
Pour voir que ce cup-produit de cochaînes définit un cup-produit des classes de cohomologie, il suffit de montrer que les applications de cobord vérifient :
ce qui montre que le cup-produit de deux cocycles est encore un cocycle, et que le produit d'un cocycle par un cobord est un cobord.
En cohomologie de De Rham, le cup-produit de formes différentielles est induit par le produit extérieur. En effet, la règle de Leibniz s'écrit
et l'on pose
Le cup-produit vérifie l'identité suivante, qui fait de l'anneau de cohomologie un anneau gradué commutatif :
C'est une opération bilinéaire :
et associative :
Il s'agit d'une opération naturellement fonctorielle, en ce que pour toute application continue f,
Si X et X sont deux espaces topologiques, et les deux projections canoniques, on peut définir un
cup-produit externe
En théorie des nœuds, le nombre d'enlacement correspond à un cup-produit non nul dans le complément d'un nœud.
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