Spectre (topologie)

En topologie algébrique, une branche des mathématiques, un spectre est un objet représentant une théorie cohomologique généralisée (qui découle du ). Cela signifie que, étant donné une théorie de cohomologie,il existe des espaces tels que l'évaluation de la théorie cohomologique en degré sur un espace équivaut à calculer les classes d'homotopie des morphismes à l'espace , soit encore.Remarquons qu'il existe plusieurs catégories de spectres différentes conduisant à de nombreuses difficultés techniques, mais ils déterminent tous la même , connue sous le nom de catégorie d'homotopie stable. C'est l'un des points clés de l'introduction des spectres car ils forment un foyer naturel pour la théorie de l'homotopie stable. Il existe de nombreuses variantes de la définition : en général, un spectre est une suite quelconque d'espaces topologiques pointés ou d'ensembles simpliciaux pointés munis des morphismes structurels donnant des équivalences d'homotopie. Le théorie développée ici est due à : un spectre (ou CW-spectre) est une suite de CW-complexes avec les inclusions de la suspension en tant que sous-complexe de . Pour d'autres définitions, voir et spectre simplicial. L'un des invariants les plus importants des spectres sont ses groupes d'homotopie. Ils reflètent la définition des groupes d'homotopie stable des espaces puisque la structure des morphismes de suspension fait partie intégrante de sa définition. Étant donné un spectre , on définit le groupe d'homotopie comme la colimiteoù les morphismes sont induits par la composition du morphisme de suspensionavec le morphisme structuralUn spectre est dit connectif si ses sont nuls pour k négatif. Considérons la cohomologie singulière à coefficients dans un groupe abélien . Pour un CW-complexe , le groupe peut être identifié avec l'ensemble des classes d'homotopie d'applications de dans , l'espace d'Eilenberg-MacLane avec homotopie concentrée en degré . Cela s'écritAlors le spectre correspondant a pour -ième espace ; c'est ce qu'on appelle le spectre d'Eilenberg-MacLane.