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Concept
Catégorie triangulée
Résumé
En mathématiques, une catégorie triangulée est une catégorie dotée d'une structure supplémentaire. De telles catégories ont été suggérées par Alexander Grothendieck et développées par Jean-Louis Verdier dans sa thèse de 1963 pour traiter les catégories dérivées.
La notion de t-structure, qui y est directement liée, permet de reconstruire (en un sens partiel) une catégorie à partir d'une catégorie dérivée.
Une catégorie triangulée est une catégorie additive C munie d'un « foncteur de translation additif », d'une collection de triangles (dits « triangles distingués ») et vérifiant un jeu d'axiomes qui déterminent des contraintes sur quels triangles peuvent ou doivent être dits distingués.
Si on note T : C → C le foncteur de translation (parfois noté ), alors un triangle est un sextuplet constitué de trois objets et trois morphismes :
L'idée sous-jacente est que dans une telle catégorie, les triangles jouent un rôle analogue aux suites exactes.
Les axiomes de Verdier sont les suivants :
(TR1) Le triangle est distingué. Pour tout morphisme f : X → Y, il existe un triangle distingué (le « mapping cone » de f). Un triangle isomorphe à un triangle distingué est considéré distingué également.
(TR2) Le triangle est distingué si et seulement si le triangle est distingué.
(TR3) Si on a une application entre deux morphismes, l'axiome (TR3) garantit qu'il existe un morphisme entre les deux mapping cones, avec les relations de commutations. On a ainsi une application h (non nécessairement unique) qui fait commuter tous les carrés dans le diagramme suivant, où chaque ligne décrit un triangle distingué :
300px|centré
(TR4) Si on se donne trois triangles distingués de la forme
alors il existe un triangle distingué
qui vérifie les relations de commutation octaédriques.
Il existe plusieurs reformulations de ces axiomes, en particulier (TR4).
On a le phénomène suivant : différentes catégories abéliennes peuvent donner des catégories dérivées qui, elles, sont équivalentes. De fait, il est en général impossible de retrouver une catégorie à partir de sa dérivée.
Source officielle
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