Groupes d'homotopie des sphères

En mathématiques, et plus spécifiquement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie des sphères sont des invariants qui décrivent, en termes algébriques, comment des sphères de dimensions et égales ou différentes peuvent s'enrouler l'une sur l'autre. La notion, définie au départ pour des sphères de dimension 1 (cercles) et de dimension 2, se généralise à des sphères de toutes dimensions (les -sphères). Le groupe d'homotopie d'ordre de la sphère de dimension , , est l'ensemble, noté , des classes d'homotopie d'applications continues qui envoient un point fixé de la sphère sur un point fixé de la sphère . Cet ensemble (pour et fixés), noté , peut être muni d'une structure de groupe abélien. Si , ce groupe est réduit à un seul élément : . Si , ce groupe est monogène infini (c'est-à-dire infini et engendré par un seul élément) : (cela résulte du point précédent, par le théorème d'Hurewicz). Si , le groupe est soit un groupe fini, soit la somme d'un groupe fini et d'un groupe infini monogène. La suite spectrale de Serre fut inventée pour calculer les groupes d'homotopie des sphères, mais aucune liste complète de ces groupes n'est connue. Pour calculer ces groupes, on utilise aussi les fibrations de Hopf et la technique des variétés équipées (framed en anglais) qui provient de la théorie du cobordisme. Une sphère de dimension 1 est un cercle. On a : pour . Pour la notion de sphère à trois dimensions, voir l'article 3-sphère. Les sphères de dimension au moins deux sont simplement connexes, en particulier : En toute dimension supérieure ou égale à 3, on a : , en particulier : En toute dimension , on a : , en particulier : En dimensions 2 et 3, la fibration de Hopf donne lieu à une suite exacte d'homotopie, Comme et pour , , on a donc un isomorphisme : pour , en particulier Pour les groupes d'homotopie supérieurs, d'autres techniques donnent les résultats suivants : Les groupes d'homotopie sont finis pour supérieur ou égal à 4. Calculer les groupes d'homotopie des sphères est difficile et les résultats sont compliqués.