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Concept
Formules de l'arc moitié
Résumé
En trigonométrie, les formules de l'arc moitié sont des identités trigonométriques permettant d'exprimer les valeurs de fonctions trigonométriques d'un angle en fonction de la tangente de la moitié de cet angle.
Les trois principales sont celles donnant les sinus, cosinus et tangente en fonction de la tangente de l'angle moitié :
On trouve également :
et ;
et ;
Les trois formules principales se déduisent des formules de l'angle double et de l'égalité cos + sin = 1.
En utilisant les identités trigonométriques de transformation de sommes en produits,
on tire :
En faisant et , on en déduit les diverses expressions de (en fonction de ).
Celles de et en découlent.
En appliquant la formule dérivée au schéma (1) ci-contre ci-contre, on voit apparaître immédiatement l'égalité :
Dans le cercle unité, l'application de la formule précédente montre bien que .
Par les propriétés des triangles similaires entre les triangles CAE, OAB et CED
Il suit :
Par le théorème de Pythagore, il apparaît que
Ensuite, en regardant les triangles similaires, on a égalité entre les rapports
D'où
dont on peut tirer les autres identités.
Parmi les applications de la trigonométrie, il est parfois utile de réécrire les fonctions trigonométriques (comme le sinus et le cosinus) comme fonctions rationnelles d'une nouvelle variable t. Ces identités sont connues sous le nom de « formules de l’arc moitié », en rapport avec la définition de t. Ces identités peuvent être utiles en analyse pour convertir des fonctions rationnelles en sin et cos par de nouvelles en t, de façon à simplifier le calcul de primitives.
Dans les faits, l'existence de ces formules repose sur le fait que le cercle est une courbe algébrique de genre 0. Ainsi, les fonctions circulaires peuvent être réduites à des fonctions rationnelles.
Géométriquement, la construction suit le cheminement suivant : pour un point (cos φ, sin φ) du cercle unité, on trace la ligne passant entre ce point et le point de coordonnées (−1, 0). Cette droite intersecte l'axe y en un point d'ordonnée y = t.
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