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Concept
Identité trigonométrique
Résumé
Une identité trigonométrique est une relation impliquant des fonctions trigonométriques, vérifiée pour toutes les valeurs possibles des variables intervenant dans la relation.
Ces identités peuvent servir à simplifier une expression comportant des fonctions trigonométriques ou à la transformer (par exemple pour en calculer une primitive). Elles constituent donc une « boîte à outils » utile pour la résolution de problèmes.
Les fonctions trigonométriques sont définies géométriquement ou analytiquement. Elles servent beaucoup en intégration, pour intégrer des fonctions « non trigonométriques » : un procédé habituel consiste à effectuer un changement de variable en utilisant une fonction trigonométrique, et à simplifier ensuite l'intégrale obtenue avec les identités trigonométriques.
Notation : si ƒ est une fonction trigonométrique, ƒ désigne la fonction qui à tout réel associe le carré de . Par exemple : .
Les relations entre fonctions trigonométriques résultent d'une part des définitions
et d'autre part de l'application du théorème de Pythagore, notamment :
Note : Toutes ces formules sont également utilisables pour des ajouts d'angles, il suffit pour cela de prendre l'opposé : par exemple,. Il suffit ensuite d'appliquer la formule de simplification correspondante de la première colonne.
Certaines des relations ci-dessus sont renforcées par les équivalences suivantes :
Les deux formules principales sont les formules d'addition pour le cosinus et le sinus :
En remplaçant b par son opposé, on obtient aussi les formules de différence :
vignette|alt=Cos(a+b) et Sin(a+b)|Démonstration géométrique des formules d'addition de cos(a+b) et sin(a+b)
Le moyen le plus rapide pour les démontrer est, à partir de la définition analytique du cosinus et du sinus, d'utiliser les formules d'Euler.
Il existe de nombreuses autres démonstrations possibles, utilisant les propriétés d'une corde dans un cercle, la relation entre cosinus d'un angle et produit scalaire (en évaluant de deux façons différentes le produit scalaire des vecteurs (cos a, sin a) et (cos b, sin b), la propriété du changement de repère ou encore la démonstration matricielle ci-dessous.
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