En mathématiques, en particulier en géométrie algébrique, une variété algébrique complète est une variété algébrique X, telle que pour toute variété Y le morphisme de projection
est une application fermée (c'est-à-dire qu'elle envoie les fermés sur des fermés). Cela peut être vu comme un analogue de la compacité en géométrie algébrique : en effet, un espace topologique X est compact si et seulement si l'application de projection ci-dessus est fermée par rapport aux produits topologiques.
L'image d'une variété complète est fermée et c'est une variété complète. Une sous-variété fermée d'une variété complète est complète.
Une variété complexe est complète si et seulement si elle est compacte en tant que variété analytique complexe.
L'exemple le plus courant d'une variété complète est une variété projective, mais il existe des en dimensions 2 et supérieures. Alors que toute surface non singulière complète est projective, il existe des variétés complètes non singulières en dimension 3 et plus qui ne sont pas projectives. Les premiers exemples de variétés complètes non projectives ont été donnés par Masayoshi Nagata et Heisuke Hironaka. Un espace affine de dimension non nulle n'est pas complet.
Le morphisme qui envoie une variété complète sur un point est un , au sens de la théorie des schémas. Une justification intuitive du terme « complet », au sens de « sans point manquant », peut être donnée sur la base du critère valuatif de propreté, dû à Claude Chevalley.
Paragraphe II.4 de
Chapitre 7 de
Paragraphe I.
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This is a glossary of algebraic geometry. See also glossary of commutative algebra, glossary of classical algebraic geometry, and glossary of ring theory. For the number-theoretic applications, see glossary of arithmetic and Diophantine geometry. For simplicity, a reference to the base scheme is often omitted; i.e., a scheme will be a scheme over some fixed base scheme S and a morphism an S-morphism.
En mathématiques, en particulier en géométrie algébrique, une variété algébrique complète est une variété algébrique X, telle que pour toute variété Y le morphisme de projection est une application fermée (c'est-à-dire qu'elle envoie les fermés sur des fermés). Cela peut être vu comme un analogue de la compacité en géométrie algébrique : en effet, un espace topologique X est compact si et seulement si l'application de projection ci-dessus est fermée par rapport aux produits topologiques.
In algebraic geometry, a proper morphism between schemes is an analog of a proper map between complex analytic spaces. Some authors call a proper variety over a field k a complete variety. For example, every projective variety over a field k is proper over k. A scheme X of finite type over the complex numbers (for example, a variety) is proper over C if and only if the space X(C) of complex points with the classical (Euclidean) topology is compact and Hausdorff. A closed immersion is proper.
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