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Concept
Partition d'un entier
Résumé
En mathématiques, une partition d'un entier (parfois aussi appelée partage d'un entier) est une décomposition de cet entier en une somme d'entiers strictement positifs (appelés parties ou sommants), à l'ordre près des termes (à la différence du problème de composition tenant compte de l'ordre des termes). Une telle partition est en général représentée par la suite des termes de la somme, rangés par ordre décroissant. Elle est visualisée à l'aide de son diagramme de Ferrers, qui met en évidence la notion de partition duale ou conjuguée.
Pour un entier naturel fixé, l'ensemble de ses partitions est fini et muni d'un ordre lexicographique.
La suite du nombre de partitions des entiers naturels successifs est déterminée par un algorithme récursif. Hardy et Ramanujan en ont donné un développement asymptotique en 1918, puis Hans Rademacher en a donné une formule exacte en 1937. Elle est répertoriée comme .
vignette|droite|Diagrammes de Ferrers des partitions des entiers jusqu'à 8.
Un diagramme de Ferrers est constitué d'un ensemble de points disposés aux sommets d'un quadrillage sur lequel sont spécifiées une première ligne et une première colonne orientées. La seule condition exigée est que tout point du quadrillage précédant un point du diagramme, sur une même ligne ou une même colonne, doit aussi appartenir au diagramme.
Une partition d'un entier peut alors être conçue comme un diagramme de Ferrers avec points, chaque ligne du diagramme représentant une partie par son cardinal. En particulier, le diagramme de Ferrers vide représente l'unique partition de l'entier 0.
Ces diagrammes sont généralisés en combinatoire par les tableaux de Young.
Il existe plusieurs manières équivalentes de définir formellement une partition d'un entier naturel.
Par exemple à l'aide d'une suite finie d'entiers strictement positifs. Comme les permutations des termes ne modifient pas la partition, la suite est par défaut présentée dans un ordre fixe, en général décroissant. Par exemple, (2,1,1) est une telle partition du nombre 4.
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