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Concept
Factorielle
Résumé
En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel n est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n.
Cette opération est notée avec un point d'exclamation, n!, ce qui se lit soit « factorielle de n », soit « factorielle n », soit « n factorielle ». Cette notation a été introduite en 1808 par Christian Kramp.
Par exemple, la factorielle 10 exprime le nombre de combinaisons possibles de placement des 10 convives autour d'une table (on dit la permutation des convives). Le premier convive s'installe sur l'une des 10 places à sa disposition. Chacun de ses 10 placements ouvre 9 nouvelles possibilités pour le deuxième convive, celles-ci 8 pour le troisième, et ainsi de suite.
La factorielle joue un rôle important en algèbre combinatoire parce qu'il y a n! façons différentes de permuter n objets. Elle apparaît dans de nombreuses formules en mathématiques, comme la formule du binôme et la formule de Taylor.
Soit n un entier naturel. Sa factorielle est formellement définie par :
Le tableau de droite donne les premières factorielles ; par exemple, on a :
1! = 1
2! = 1 × 2 = 2
3! = 1 × 2 × 3 = 6
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
10! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 =
Cette définition donne aussi :
0! = 1
puisque par convention, le produit vide est égal à l'élément neutre de la multiplication. Cette convention est pratique ici car elle permet à des formules de dénombrement obtenues en analyse combinatoire d'être encore valides pour des tailles nulles. En particulier, le nombre d'arrangements ou de permutations de l'ensemble vide est égal à 1.
Il existe aussi une définition par récurrence (équivalente) de la factorielle :
0! = 1.
Pour tout entier n > 0, n! = (n – 1)! × n.
Enfin, la fonction Gamma, qui prolonge analytiquement la factorielle, donne un résultat cohérent :
Les inverses des factorielles sont les coefficients du développement en série entière de la fonction exponentielle :le cas x = 1 donnant la valeur de la constante e :
Les n – 1 entiers consécutifs n! + 2, n! + 3, ... , n! + n sont composés.
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