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Concept
Fonction gamma
Résumé
En mathématiques, la fonction gamma (notée par Γ la lettre grecque majuscule gamma de l'alphabet grec) est une fonction utilisée communément, qui prolonge de la fonction factorielle à l'ensemble des nombres complexes. En ce sens, il s'agit une fonction complexe. Elle est considérée également comme une fonction spéciale. La fonction gamma est défini pour tous les nombres complexes, à l'exception des entiers négatifs. On a pour tout entier strictement positif,
où est la factorielle de , c'est-à-dire le produit des entiers entre 1 et : .
On définit la fonction gamma, et notée par la lettre grecque Γ (gamma majuscule) de la façon suivante. Pour tout de partie réelle strictement positive, on pose
C'est une intégrale paramétrée par , l'intégration se faisant sur . Cette intégrale impropre converge absolument sur le demi-plan complexe où la partie réelle est strictement positive, et une intégration par parties montre que
Cette fonction peut être prolongée analytiquement en une fonction méromorphe sur l'ensemble des nombres complexes, excepté pour z = 0, −1, −2, −3... qui sont des pôles. C'est ce prolongement qu'on appelle généralement « fonction gamma ». L'unicité du prolongement analytique permet de montrer que la fonction prolongée vérifie encore l'équation fonctionnelle précédente. Cela permet une définition plus simple, à partir de l'intégrale, et un calcul de proche en proche de Γ pour z – 1, z – 2
Par changement de variable, l'intégrale précédente (pour Re(z) > 0) s'écrit aussi :
La définition suivante de la fonction gamma par produits infinis, due à Euler, a un sens pour les nombres complexes z qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls :
Elle est équivalente à celle donnée par Schlömilch :
où est la constante d'Euler-Mascheroni.
De Γ(z+1) = zΓ(z) et Γ(1) = 1, on déduit :
On interprète donc la fonction gamma comme un prolongement de la factorielle à l'ensemble des nombres complexes (à l'exception des entiers négatifs ou nuls).
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vignette|upright=2|La fonction zêta de Riemann ζ(s) dans le plan complexe. La couleur d'un point s code la valeur de ζ(s) : des couleurs vives indiquent des valeurs proches de 0 et la nuance indique l'argument de la valeur. Le point blanc pour s = 1 est le pôle ; les points noirs sur l'axe réel négatif (demi-droite horizontale) et sur la droite critique Re(s) = 1/2 (droite verticale) sont les zéros. vignette|upright=2|Carte des couleurs utilisées dans la figure du dessus.
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