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Concept
Structure spinorielle
Résumé
En géométrie différentielle, il est possible de définir sur certaines variétés riemanniennes la notion de structure spinorielle (qui se décline en structures Spin ou Spinc), étendant ainsi les considérations algébriques sur le groupe spinoriel et les spineurs. En termes imagés, il s'agit de trouver, dans le cadre des « espaces courbes », une géométrie « cachée » à l’œuvre derrière les concepts géométriques ordinaires. On peut aussi y voir une généralisation de la notion d'orientabilité et de changement d'orientation à une forme d'« orientabilité d'ordre supérieur ». Comme l'orientabilité, la présence de structures spinorielles n'est pas universelle mais se heurte à des obstructions qui peuvent être formulées en termes de classes caractéristiques.
Quand elles existent, ces structures jouent un rôle important en géométrie différentielle et en physique théorique. Elles permettent notamment d'introduire l', sorte de racine carrée du laplacien, ou les invariants de Seiberg-Witten pour les variétés orientées de dimension 4.
On introduit cette structure spinorielle, quand c'est possible, pour une variété riemannienne orientée , supposée de dimension (les dimensions 1 et 2, exceptionnelles sont susceptibles de définitions adaptées).
À une telle variété est naturellement associé un fibré des repères orthonormés directs, qui possède une structure de fibré principal de groupe structural . Cela signifie que la fibre en un point donné est formée des différents repères de l'espace tangent (qui sont en correspondance avec le groupe structural), et les fonctions de transition d'une fibre à l'autre sont les éléments du groupe structural. Par ailleurs le groupe spinoriel s'insère dans la suite exacte de groupes de Lie
qui illustre qu'il s'agit d'un revêtement à deux feuillets de . Le problème consiste à chercher s'il existe un analogue du fibré des repères pour le groupe spinoriel, et redonne accès au véritable fibré des repères.
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