Concept
thumb|Joseph-Louis Lagrange établit de manière rigoureuse les propriétés des fractions continues des irrationnels quadratiques. En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la fraction continue d'un irrationnel quadratique correspond à la représentation de ce nombre sous la forme Si le nombre irrationnel représenté est quadratique, c'est-à-dire s'il est solution d'une équation du second degré à coefficients rationnels, alors la suite d'entiers (an) est périodique à partir d'un certain rang. L'intérêt de l'étude de la fraction continue d'un irrationnel quadratique ne se résume pas à cela. La simplicité de l'algorithme permettant de déterminer les coefficients de la fraction en a fait pendant longtemps une méthode d'extraction de racine carrée. La connaissance de la fraction continue permet, aussi, entre autres, de résoudre la célèbre équation diophantienne dite de Pell-Fermat : x – ny = ±1. On cherche à calculer la fraction continue de , qui vaut environ 3,605 et un irrationnel quadratique, car solution de l'équation x -13 = 0. Pour calculer la fraction continue, on utilisera l'identité remarquable (a + b)(a – b) = a – b à chaque étape : et En appliquant le même algorithme sur x1 : et ainsi : On calcule de la même façon : on continue ainsi et on calcule les termes suivant du développement jusqu'à : enfin : Le vocabulaire et les notations utilisés ici sont ceux définis dans l'article « Fraction continue » : le quotient partiel an est la partie entière du quotient complet xn, sa partie fractionnaire étant 1/x. La réduite d'indice n désigne la fraction continue tronquée contenant n barres de fraction et construite à l'aide de n + 1 coefficients ; elle est notée hn/k. Si l'on remplace an–1 par an–1 + 1/xn dans l'expression de la réduite d'indice n – 1, on obtient exactement le nombre initial. Le quotient complet x0 est la valeur initiale. Dans l'exemple choisi, Cette notation étant un peu lourde, on utilise de préférence la suivante, ayant la même signification : Enfin, le quotient complet est égal à , ce qui permet de conclure que la suite des coefficients se répète à partir du rang 1.
