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Concept
Fraction continue généralisée
Résumé
En mathématiques, une fraction continue généralisée est une expression de la forme :
comportant un nombre fini ou infini d'étages. C'est donc une généralisation des fractions continues simples puisque dans ces dernières, tous les a sont égaux à 1.
Une fraction continue généralisée est une généralisation des fractions continues où les numérateurs et dénominateurs partiels peuvent être des complexes quelconques :
où an (n > 0) sont les numérateurs partiels et les bn les dénominateurs partiels.
Des notations plus compactes sont employées :
Carl Friedrich Gauss utilisa une notation rappelant la notation Σ des séries ou Π du produit infini :
où la lettre K est l'initiale de Kettenbruch, signifiant « fraction continue » en allemand.
Dans la suite, on adopte l'écriture d'Alfred Pringsheim :
L'observation suivante va rendre naturel le calcul des réduites. Les fonctions ρ définies par
sont des composées de fonctions homographiques :
Les matrices associées vérifient alors
si bien que
où les h et k sont définis par
Des formules précédentes découlent celles sur les numérateurs et dénominateurs des réduites, généralisant celles des réduites d'une fraction continue simple :
(1) est l'évaluation de ρ en 0.
(2) résulte de h/k = ρ(0) = ρ(τ(0)) = ρ(a/b), en inversant ρ.
(3) se déduit des formules matricielles, en calculant des déterminants.
Si (c) est une suite de complexes non nuls alors
c'est-à-dire que ces deux fractions continues ont mêmes réduites.
En particulier :
si tous les a sont non nuls alors, en choisissant c = 1/a et c = 1/(ac), on se ramène à une fraction continue ordinaire :
si tous les b sont non nuls, on peut construire de même une suite (d) telle que en posant d = 1/b et pour n > 1, d = 1/(bb).
Ces deux conversions sont extrêmement utiles dans l'analyse du problème de convergence.
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