Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Fraction continue généralisée
Résumé
En mathématiques, une fraction continue généralisée est une expression de la forme :
comportant un nombre fini ou infini d'étages. C'est donc une généralisation des fractions continues simples puisque dans ces dernières, tous les a sont égaux à 1.
Une fraction continue généralisée est une généralisation des fractions continues où les numérateurs et dénominateurs partiels peuvent être des complexes quelconques :
où an (n > 0) sont les numérateurs partiels et les bn les dénominateurs partiels.
Des notations plus compactes sont employées :
Carl Friedrich Gauss utilisa une notation rappelant la notation Σ des séries ou Π du produit infini :
où la lettre K est l'initiale de Kettenbruch, signifiant « fraction continue » en allemand.
Dans la suite, on adopte l'écriture d'Alfred Pringsheim :
L'observation suivante va rendre naturel le calcul des réduites. Les fonctions ρ définies par
sont des composées de fonctions homographiques :
Les matrices associées vérifient alors
si bien que
où les h et k sont définis par
Des formules précédentes découlent celles sur les numérateurs et dénominateurs des réduites, généralisant celles des réduites d'une fraction continue simple :
(1) est l'évaluation de ρ en 0.
(2) résulte de h/k = ρ(0) = ρ(τ(0)) = ρ(a/b), en inversant ρ.
(3) se déduit des formules matricielles, en calculant des déterminants.
Si (c) est une suite de complexes non nuls alors
c'est-à-dire que ces deux fractions continues ont mêmes réduites.
En particulier :
si tous les a sont non nuls alors, en choisissant c = 1/a et c = 1/(ac), on se ramène à une fraction continue ordinaire :
si tous les b sont non nuls, on peut construire de même une suite (d) telle que en posant d = 1/b et pour n > 1, d = 1/(bb).
Ces deux conversions sont extrêmement utiles dans l'analyse du problème de convergence.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.