Concept

Irrationnel quadratique

Résumé
Un irrationnel quadratique est un nombre irrationnel solution d'une équation quadratique à coefficients rationnels, autrement dit, un nombre réel algébrique de degré 2. Il engendre donc un corps quadratique réel ℚ(), où d est un entier positif sans facteur carré. Les irrationnels quadratiques sont caractérisés par la périodicité à partir d'un certain rang de leur développement en fraction continue (théorème de Lagrange). Racine carrée d'un entier non carré Les exemples les plus simples d'irrationnels quadratiques sont les racines carrées d'entiers naturels non carrés (le plus célèbre étant ). On démontre en effet que si un entier n'est pas le carré d'un entier alors, il n'est même pas le carré d'un rationnel ou encore — par contraposition — que si un entier d est carré d'un rationnel, alors est un entier. On peut la déduire de la proposition 8 du livre VIII des Éléments d'Euclide. Les preuves usuelles font appel au lemme de Gauss ou même au théorème fondamental de l'ari
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