Théorie de l'approximation

En mathématiques, la théorie de l'approximation concerne la façon dont les fonctions peuvent être approchées par de plus simples fonctions, en donnant une caractérisation quantitative des erreurs introduites par ces approximations. Le problème de l'approximation s'est posé très tôt en géométrie, pour les fonctions trigonométriques : ce sont des fonctions dont on connaît les propriétés (parité, dérivabilité, valeurs en des points particuliers) mais qui ne s'expriment pas à partir d'opérations réalisables à la main (les quatre opérations). Cela a conduit à la notion de développement en série. On a pu ainsi constituer des tables trigonométriques, puis, avec une démarche similaire, des tables logarithmiques, et de manière générale des tables pour les fonctions couramment utilisées en sciences comme la racine carrée. Un problème particulièrement intéressant est celui de l'approximation de fonctions par d'autres définies uniquement à partir d'opérations de base d'un ordinateur, comme l'addition et la multiplication, afin de créer des bibliothèques de fonctions mathématiques qui à l'exécution produisent des valeurs les plus proches possibles des valeurs théoriques. C'est ce qui s'appelle l'approximation polynomiale ou rationnelle (c'est-à-dire par des fonctions rationnelles). L'objectif est de donner une approximation aussi précise que possible d'une fonction réelle donnée, de façon à fournir des valeurs les plus exactes possibles, à la précision près de l'arithmétique en virgule flottante d'un ordinateur. Ce but est atteint en employant un polynôme de degré élevé, et/ou en rapetissant le domaine sur lequel le polynôme doit approcher la fonction. Le rapetissement du domaine peut souvent être effectué, bien que cela nécessite la composition par d'autres fonctions affines, de la fonction à approcher. Les bibliothèques mathématiques modernes réduisent souvent le domaine en le divisant en de multiples minuscules segments et emploient un polynôme de bas degré sur chaque segment.