HOMFLY polynomialIn the mathematical field of knot theory, the HOMFLY polynomial or HOMFLYPT polynomial, sometimes called the generalized Jones polynomial, is a 2-variable knot polynomial, i.e. a knot invariant in the form of a polynomial of variables m and l. A central question in the mathematical theory of knots is whether two knot diagrams represent the same knot. One tool used to answer such questions is a knot polynomial, which is computed from a diagram of the knot and can be shown to be an invariant of the knot, i.e.
Polynôme d'AlexanderEn mathématiques, et plus précisément en théorie des nœuds, le polynôme d'Alexander est un invariant de nœuds qui associe un polynôme à coefficients entiers à chaque type de nœud. C'est le premier découvert ; il l'a été par James Waddell Alexander II, en 1923. En 1969, John Conway en montra une version, appelée à présent le polynôme d'Alexander-Conway, pouvant être calculé à l'aide d'une « » (skein relation), mais l'importance n'en fut pas comprise avant la découverte du polynôme de Jones en 1984.
Knot polynomialIn the mathematical field of knot theory, a knot polynomial is a knot invariant in the form of a polynomial whose coefficients encode some of the properties of a given knot. The first knot polynomial, the Alexander polynomial, was introduced by James Waddell Alexander II in 1923. Other knot polynomials were not found until almost 60 years later. In the 1960s, John Conway came up with a skein relation for a version of the Alexander polynomial, usually referred to as the Alexander–Conway polynomial.
Nœud de trèflevignette|Faire un nœud de trèfle (vidéo) vignette|Surface de Seifert associée à un nœud de trèfle : il en forme le bord. En théorie des nœuds, le nœud de trèfle est le nœud le plus simple après le nœud trivial. C'est le seul nœud premier à trois croisements. On peut aussi le décrire comme nœud torique de type (2,3), son mot dans le groupe de tresses étant σ13. Une autre description (liée à la précédente) est l'intersection de la sphère unité dans C2 avec la courbe plane complexe d'équation .
Quantum invariantIn the mathematical field of knot theory, a quantum knot invariant or quantum invariant of a knot or link is a linear sum of colored Jones polynomial of surgery presentations of the knot complement. Finite type invariant Kontsevich invariant Kashaev's invariant Witten–Reshetikhin–Turaev invariant (Chern–Simons) Invariant differential operator Rozansky–Witten invariant Vassiliev knot invariant Dehn invariant LMO invariant Turaev–Viro invariant Dijkgraaf–Witten invariant Reshetikhin–Turaev invariant Tau-inva
Braid groupIn mathematics, the braid group on n strands (denoted ), also known as the Artin braid group, is the group whose elements are equivalence classes of n-braids (e.g. under ambient isotopy), and whose group operation is composition of braids (see ). Example applications of braid groups include knot theory, where any knot may be represented as the closure of certain braids (a result known as Alexander's theorem); in mathematical physics where Artin's canonical presentation of the braid group corresponds to the Yang–Baxter equation (see ); and in monodromy invariants of algebraic geometry.
Chiral knotIn the mathematical field of knot theory, a chiral knot is a knot that is not equivalent to its mirror image (when identical while reversed). An oriented knot that is equivalent to its mirror image is an amphicheiral knot, also called an achiral knot. The chirality of a knot is a knot invariant. A knot's chirality can be further classified depending on whether or not it is invertible. There are only five knot symmetry types, indicated by chirality and invertibility: fully chiral, invertible, positively amphicheiral noninvertible, negatively amphicheiral noninvertible, and fully amphicheiral invertible.
Finite type invariantIn the mathematical theory of knots, a finite type invariant, or Vassiliev invariant (so named after Victor Anatolyevich Vassiliev), is a knot invariant that can be extended (in a precise manner to be described) to an invariant of certain singular knots that vanishes on singular knots with m + 1 singularities and does not vanish on some singular knot with 'm' singularities. It is then said to be of type or order m. We give the combinatorial definition of finite type invariant due to Goussarov, and (independently) Joan Birman and Xiao-Song Lin.
Invariant de nœudsthumb|Les deux nœuds sont équivalents, leur invariant est donc identique. En théorie des nœuds, un invariant de nœuds est une quantité définie pour chaque nœud qui est la même pour tous les nœuds équivalents. On parlera d'équivalence lorsqu'on peut passer d'un nœud à un autre par un ensemble de mouvements de Reidemeister. Ces invariants topologiques peuvent être de tout type : des booléens, des scalaires, des polynômes (polynôme d'Alexander, le polynôme de Jones, le ) ou encore le groupe fondamental du complément d'un nœud, les de Vassiliev et l'.
Théorie des nœudsthumb|right|Représentation d’un nœud torique de type (3, 8). La théorie des nœuds est une branche de la topologie qui consiste en l'étude mathématique de courbes présentant des liaisons avec elles-mêmes, un « bout de ficelle » idéalisé en lacets. Elle est donc très proche de la théorie des tresses qui comporte plusieurs chemins ou « bouts de ficelle ». left|thumb|Nœuds triviaux La théorie des nœuds a commencé vers 1860 et avec des travaux de Carl Friedrich Gauss liés à l'électromagnétisme.
