En mathématiques, et plus précisément en théorie des nœuds, le polynôme d'Alexander est un invariant de nœuds qui associe un polynôme à coefficients entiers à chaque type de nœud. C'est le premier découvert ; il l'a été par James Waddell Alexander II, en 1923. En 1969, John Conway en montra une version, appelée à présent le polynôme d'Alexander-Conway, pouvant être calculé à l'aide d'une « » (skein relation), mais l'importance n'en fut pas comprise avant la découverte du polynôme de Jones en 1984.
La définition formelle suivante nécessite des connaissances importantes en homologie ; il est cependant possible, comme on le verra au paragraphe suivant, de calculer sans elle le polynôme d'Alexander en pratique, ce qui pourrait en constituer une définition opérationnelle, mais on ne peut alors comprendre la raison profonde de l'intérêt de ce calcul, ni les propriétés du polynôme.
Soit K un nœud de la 3-sphère. Soit X le revêtement cyclique infini du complément du nœud K. Il y a un automorphisme t de ce revêtement. Soit alors le premier groupe d'homologie (à coefficients entiers) de X. La transformation t agit sur ce groupe, et nous pouvons donc considérer comme un module sur , appelé invariant d'Alexander ou module d'Alexander.
Ce module est de présentation finie ; une matrice de présentation de ce module, à r colonnes et s lignes s'il y a r générateurs et s relations, s'appelle une matrice d'Alexander. Alexander a démontré que r est toujours inférieur ou égal à s, on considère alors l'idéal engendré par les mineurs d'ordre r de la matrice ; c'est l' d'ordre 0, appelé idéal d'Alexander, et il ne dépend pas du choix de la matrice de présentation.
Alexander a également démontré que cet idéal est toujours principal, un de ses générateurs est appelé polynôme d'Alexander du nœud. Ce polynôme n'étant défini qu'à une multiplication près par un monôme de Laurent , on fixe en général une forme unique. Par exemple, le choix de normalisation d'Alexander consiste à prendre le polynôme de valuation positive et de terme constant strictement positif.
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Le polynôme de Jones en théorie des nœuds est un invariant polynomial des nœuds (incomplet) introduit par Vaughan Jones en 1984. Plus précisément, c'est un invariant d'un nœud orienté ou d'un entrelacs orienté, qui est un polynôme de Laurent à coefficients entiers en la variable . Le polynôme de Jones est caractérisé par le fait qu'il prend la valeur 1 pour le nœud trivial et vérifie la « » (skein relation) suivante : où , et sont des diagrammes d'entrelacs orientés qui ne diffèrent que dans une petite région de la façon suivante center|200px Le polynôme de Jones, contrairement au polynôme d'Alexander, permet parfois de distinguer un nœud de son image par un miroir.
L'homologie de Floer est une adaptation de l'homologie de Morse en dimension infinie. L'homologie de Floer symplectique (HFS) est une théorie homologique pour une variété symplectique munie d'un symplectomorphisme non-dégénéré. Si le symplectomorphisme est hamiltonien, l'homologie provient de l'étude de la fonctionnelle d'action symplectique sur le revêtement universel de l'espace des lacets de la variété symplectique. L'homologie de Floer symplectique est invariante par isotopie hamiltonienne du symplectomorphisme.
In the mathematical field of knot theory, a knot polynomial is a knot invariant in the form of a polynomial whose coefficients encode some of the properties of a given knot. The first knot polynomial, the Alexander polynomial, was introduced by James Waddell Alexander II in 1923. Other knot polynomials were not found until almost 60 years later. In the 1960s, John Conway came up with a skein relation for a version of the Alexander polynomial, usually referred to as the Alexander–Conway polynomial.
We develop a very general version of the hyperbola method which extends the known method by Blomer and Brudern for products of projective spaces to complete smooth split toric varieties. We use it to count Campana points of bounded log-anticanonical height ...
In this thesis, we study the mechanics of tight physical knots. Knots are omnipresent in surgery, climbing, and sailing, with disastrous consequences when the filament or the rope fails to perform its function. Even if the importance of mechanical analysis ...
EPFL2023
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We perform a compare-and-contrast investigation between the equilibrium shapes of physical and ideal trefoil knots, both in closed and open configurations. Ideal knots are purely geometric abstractions for the tightest configuration tied in a perfectly fle ...