Concept

Horocycle

Résumé

En géométrie hyperbolique, un horocycle (ou parfois horicycle, du ὅριον + κύκλος — frontière + cercle) est une courbe dont les normales convergent asymptotiquement vers le même point à l'infini. Généralisant certaines propriétés des droites et des cercles euclidiens, les horocycles sont représentés dans le modèle du disque de Poincaré par des cercles tangents au cercle limite. En géométrie euclidienne, une courbe dont toutes les normales sont parallèles est une droite. En géométrie hyperbolique, on appelle horocycle une courbe dont toutes les normales sont asymptotiquement parallèles, c'est-à-dire qu'elles sont non sécantes, mais que leur distance tend vers 0 à l'infini ; toutes ces normales,appelées rayons de l'horocycle, convergent donc vers le même point à l'infini, le centre de l'horocycle. Un horocycle peut aussi être défini comme la courbe limite d'une famille de cercles ayant une tangente commune en un point donné, lorsque le rayon de ces cercles tend vers l'infini. Selon le côté de la tangente, on obtient ainsi deux horocycles, ayant pour centres les points à l'infini de la perpendiculaire à la tangente en ce point. De même, on peut obtenir un horocycle comme courbe limite d'hypercycles dont le rayon tend vers l'infini ; à ce sens, il y a une analogie entre horocycles et droites euclidiennes, qui se prolonge en une analogie entre parallèles asymptotes et hyperparallèles, d'une part, et horocycles et hypercycles de l'autre. Certaines des propriétés ci-dessous sont analogues aux propriétés des cercles et des hypercycles ; à ce sens, horocycles et hypercycles peuvent être vus comme des cercles généralisés du plan hyperbolique. Par un couple (A,B) de points distincts quelconque passent deux horocycles, dont les centres sont les points à l'infini de la médiatrice du segment AB. Par un point A d'une droite D passent deux horocycles tangents à D en A (par passage à la limite du résultat précédent lorsque B tend vers A) ; ces horocycles sont limites des cercles tangents à D en A lorsque le rayon de ces cercles tend vers l'infini.

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Horocycle

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