Modèle de Klein

En mathématiques, et plus précisément en géométrie non euclidienne, le 'modèle de Beltrami-Klein, également appelé modèle projectif ou modèle du disque de Klein', est un modèle de géométrie hyperbolique de dimension n dans lequel l'espace hyperbolique est modélisé par la boule unité euclidienne ouverte de rayon 1 de dimension n, les points de l'espace hyperbolique étant les points de la boule unité, et les droites de l'espace hyperbolique étant les cordes de la boule unité. Le terme fait sa première apparition dans les deux mémoires d'Eugenio Beltrami publiés en 1868. Le premier étudie le cas n = 2 et montre l'équiconsistance de la géométrie hyperbolique avec la géométrie euclidienne usuelle La relation entre le modèle de Beltrami-Klein et le disque de Poincaré est analogue, en géométrie hyperbolique, aux relations entre la projection gnomonique et la projection stéréographique pour une sphère. En particulier, le premier préserve les lignes droites là où le second préserve les angles. La distance est donné par la métrique de Cayley-Klein. Celle-ci a d'abord été décrite par Arthur Cayley dans le cadre de la géométrie projective et de la géométrie sphérique. Felix Klein reconnut l'importance de cette distance pour les géométries non euclidiennes et a popularisé le sujet. Arthur Cayley a appliqué le birapport de la géométrie projective à la mesure des angles et des distances en géométrie sphérique. Par la suite, Felix Klein a réalisé que l'idée de Cayley s'appliquait aux modèles projectifs non euclidiens. Soient deux points distincts P et Q de la boule unité ouverte, l'unique ligne droite les reliant coupant la sphère unité en deux points A et B tels que les points soient dans l'ordre A, P, Q, B. Alors la distance hyperbolique entre P et Q s'exprime par la valeur absolue du demi-logarithme du birapport (P,Q ; A,B) : où la barre verticale indique la distance euclidienne. Cette expression se comporte en effet comme une abscisse sur la droite (A, B). Si est l'abscisse entre P et Q, et l'abscisse entre Q et R, alors l'abscisse entre P et R est .