Loi stable

La loi stable ou loi de Lévy tronquée, nommée d'après le mathématicien Paul Lévy, est une loi de probabilité utilisée en mathématiques, physique et analyse quantitative (finance de marché). On dit qu'une variable aléatoire réelle est de loi stable si elle vérifie l'une des 3 propriétés équivalentes suivantes : Pour tous réels strictement positifs et , il existe un réel strictement positif et un réel tels que les variables aléatoires et aient la même loi, où et sont des copies indépendantes de . Pour tout entier , il existe une constante strictement positive et un réel tels que les variables aléatoires et aient la même loi, où sont des copies indépendantes de . Il existe des réels , , et telles que la fonction caractéristique de vérifie, pour tout , où Remarques : Les paramètres , , et caractérisent la loi de . On écrit alors . Le réel dans est appelé paramètre de stabilité de . Le réel positif est appelé paramètre d'échelle de . Les coefficients , et sont liés par la relation . Pour tout , on a . On dit qu'une variable aléatoire réelle est -stable si elle est stable et que son paramètre de stabilité est . Les lois 2-stables correspondent exactement aux lois normales. Pour ces lois, le paramètre n'a aucune influence. Plus précisément, la loi correspond à la loi normale de moyenne et de variance . Si et sont indépendantes, alors avec Si et , alors . Si avec , alors où . Si avec , alors On dit que est de loi symétrique -stable si est -stable et que les variables aléatoires et sont identiquement distribuées. est de loi symétrique -stable si, et seulement si, . On note simplement dans ce cas . est de loi symétrique -stable si, et seulement si, sa fonction caractéristique vérifie pour tout l'égalité , où est le paramètre d'échelle de . L'étude des lois stables vient, en fait, de l'étude de la convergence de sommes de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d) normalisées de manière affine. Les lois stables sont alors les seules lois limites possibles.