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Concept
Loi de probabilité à queue lourde
Résumé
vignette|Long tail.
Dans la théorie des probabilités, une loi de probabilité à queue lourde est une loi de probabilité dont les queues ne sont pas exponentiellement bornées, ce qui signifie qu'elles ont des queues plus « lourdes » que la loi exponentielle. Dans de nombreuses applications, c'est la queue droite de la distribution qui est intéressante, mais une distribution peut avoir une queue lourde à gauche, ou les deux queues peuvent être lourdes.
Il y a trois sous-classes importantes de lois à queue lourde, les lois à queue épaisse, les lois à longue queue et les lois sous-exponentielles. Dans la pratique, toutes les lois à queue lourde couramment utilisées appartiennent à la classe sous-exponentielle.
La loi d'une variable aléatoire X de fonction de répartition F est dite à queue lourde (à droite) si sa fonction génératrice des moments MX(t), est infinie pour tout t > 0., soit:
On peut traduire cette propriété en termes de densité de distribution de queue
comme
La loi d'une variable aléatoire X de fonction de répartition F est dite à queue longue (à droite) si
ou
On peut le comprendre ainsi : à partir d'un certain niveau, la probabilité qu'une variable aléatoire à queue longue dépasse un niveau supérieur tend vers 1.
Une loi à queue longue est nécessairement à queue lourde, mais la réciproque est fausse : il est possible de construire des lois à queue lourde mais pas longue
La sous-exponentialité est définie en termes de convolution de densités de probabilités. Pour deux variables aléatoires iid de même fonction de répartition , la convolution de avec elle-même, notée , est définie par l'intégrale de Lebesgue-Stieltjes :
et la convolution d'ordre n est définie par récurrence :
La fonction de répartition de queue est telle que .
Une loi de fonction de répartition est dite sous-exponentielle (à droite) si :
On en déduit:
On peut y voir l'interprétation probabiliste suivante: pour une somme de variables aléatoires iid de loi commune ,
On désigne cette propriété comme le principe du grand saut simple ou principe de la catastrophe
Une loi sur la droite réelle complète est sous-exponentielle si la loi
l'est; la fonction est la fonction indicatrice de la demi-droite positive.
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