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Concept
Secteur hyperbolique
Résumé
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En géométrie, un secteur hyperbolique est une région du plan cartésien délimitée par une hyperbole et deux rayons partant de l'origine vers celle-ci. Par exemple, les deux points et sur l'hyperbole équilatère , ou la région correspondante lorsque cette hyperbole est remise à l'échelle et que son orientation est modifiée par une rotation laissant le centre à l'origine, comme avec l'hyperbole unité. Un secteur hyperbolique en position standard part de et .
Les secteurs hyperboliques sont à la base des fonctions hyperboliques.
droite|vignette|250x250px| L'aire du secteur hyperbolique est préservée par rotation hyperbolique, illustré en insérant des rectangles et en faisant pivoter un secteur hyperbolique
L'aire d'un secteur hyperbolique en position standard est égal au logarithme naturel de b.
Pour le prouver, on intègre 1/x entre 1 et b, on y ajoute le triangle {(0, 0), (1, 0), (1, 1)} et on en soustrait le triangle {(0, 0), (b, 0), (b, 1/ b)} .
En position standard, un secteur hyperbolique correspond à un angle hyperbolique positif à l'origine, la mesure de ce dernier étant définie comme l'aire du premier.
droite|vignette|250x250px| Triangle hyperbolique (en jaune) et secteur hyperbolique (en rouge) correspondant à l'angle hyperbolique u, à l'hyperbole équilatère (d'équation y = 1/x). Les branches du triangle mesurent fois les cosinus et sinus hyperboliques de u.
En position standard, un secteur hyperbolique détermine un triangle hyperbolique, correspondant au triangle rectangle avec un sommet à l'origine, la base sur le rayon diagonal y = x, et le troisième sommet sur l'hyperbole xy = 1, avec l'hypoténuse étant le segment de l'origine au point (x , y) sur l'hyperbole. La longueur de la base de ce triangle est cosh u et sa hauteur vaut sinh u, où u est l'angle hyperbolique approprié.
L'analogie entre les fonctions circulaires et hyperboliques a été décrite par Auguste De Morgan dans son ouvrage Trigonometry and Double Algebra (1849).
Source officielle
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