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Concept
Angle hyperbolique
Résumé
droite|vignette|200x200px|Une hyperbole est une figure délimitée par deux rayons et un arc d'hyperbole. Le secteur grisé est en position standard si
En géométrie, l'angle hyperbolique est un nombre réel déterminé par l'aire du secteur hyperbolique correspondant de xy = 1 dans le quadrant I du plan cartésien. L'angle hyperbolique paramètre l'hyperbole unité, qui a des fonctions hyperboliques comme coordonnées. En mathématiques, l'angle hyperbolique est une mesure invariante car il est conservé par rotation hyperbolique.
L'hyperbole xy = 1 est équilatère avec un demi-grand axe de , analogue à la grandeur d'un angle circulaire correspondant à l'aire d'un secteur circulaire dans un cercle de rayon .
L'angle hyperbolique est utilisé comme variable indépendante pour les fonctions hyperboliques sinh, cosh et tanh, car ces fonctions peuvent être fondées sur des analogies hyperboliques avec les fonctions trigonométriques circulaires correspondantes en considérant un angle hyperbolique comme définissant un triangle hyperbolique. Le paramètre devient ainsi l'un des plus utiles dans le calcul des variables réelles.
On considère l'hyperbole équilatère , et (par convention) on s'intéresse particulièrement à la branche x > 1.
On définit d'abord :
L'angle hyperbolique en position standard est l'angle de sommet (0, 0) entre le rayon à (1, 1) et le rayon à (x, 1/x), où x > 1;
la mesure de cet angle est l'aire du secteur hyperbolique correspondant, qui s'avère être ln(x).
On notera qu'en raison du rôle joué par le logarithme népérien :
Contrairement à l'angle circulaire, l'angle hyperbolique n'est pas borné (car ln(x) ne l'est pas) ; ceci est lié au fait que la série harmonique diverge.
La formule de la mesure de l'angle suggère que, pour 0 < x < 1, l'angle hyperbolique doit être négatif. Cela reflète le fait que, tel que défini, l'angle est dirigé.
Enfin, on étend la définition de l'angle hyperbolique à celle sous-tendue par tout intervalle sur l'hyperbole.
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