Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Stabilité EBSB
Résumé
La stabilité EBSB est une forme particulière de stabilité des systèmes dynamiques étudiés en automatique, en traitement du signal et plus spécifiquement en électrotechnique. EBSB signifie Entrée Bornée/Sortie Bornée : si un système est stable EBSB, alors pour toute entrée bornée, la sortie du système l’est également.
Un système linéaire invariant et à temps continu dont la fonction transfert est rationnelle et strictement propre est stable EBSB si et seulement si sa réponse impulsionnelle est absolument intégrable, i.e. si sa norme existe :
En temps discret, un système est stable EBSB si et seulement si sa réponse impulsionnelle est absolument sommable, i.e. si sa norme existe :
Elle est proposée en temps discret, mais les mêmes arguments s’appliquent en temps continu.
À l’entrée bornée correspond la sortie satisfaisant
où est le produit de convolution, c'est-à-dire :
En particulier
Ainsi puisque est borné.
Considérons une entrée bornée, c'est-à-dire , et supposons . Alors la sortie satisfait
(par l'inégalité triangulaire)
Ainsi est également borné.
Soit un système linéaire invariant et à temps continu dont la fonction de transfert est supposée être rationnelle. En notant les pôles (racines complexes du dénominateur) et l’abscisse de convergence définie par , on montre que le système est stable EBSB si et seulement si .
Puisque est la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle ,
et le domaine de convergence est le demi-plan .
Si le système est stable EBSB, alors est dans et il y a convergence en puisque
qui, par hypothèse, est une quantité finie. Par conséquent
Supposons . Puisque, par l’hypothèse de rationalité, est de la forme
en supposant, pour simplifier, que les pôles de sont simples. La transformée inverse de Laplace donne
qui est dans et le système est stable EBSB.
Soit un système linéaire invariant et à temps discret dont la fonction de transfert est supposée être rationnelle. En notant les pôles et le module de convergence défini comme le maximum des modules des pôles, on montre que le système est stable EBSB si et seulement si .
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.