En mathématiques, une relation (binaire, interne) R sur un ensemble E est dite antisymétrique si elle vérifie :
ce qui signifie que l'intersection de son graphe avec celui de sa relation réciproque est incluse dans la diagonale de E, autrement dit :
La condition (1) peut aussi s'écrire
On remarque l'antisymétrie d'une relation sur son diagramme sagittal par le fait qu'il n'y a pas de double flèche (donc que des sens uniques).
L'antisymétrie est parfois appelée « antisymétrie faible », par opposition à l'« antisymétrie forte » qu'est l'asymétrie (une relation asymétrique est une relation antisymétrique et antiréflexive).
Les relations d'ordre, qui sont les préordres antisymétriques.
Sont antisymétriques sans être des relations d'ordre :
La relation vide
La relation définie par dans les entiers (lien verbal : "être le successeur de")
la relation de lien verbal "être l'enfant de ".
La relation sur les entiers naturels " être un diviseur premier de".
Une relation est à la fois symétrique et antisymétrique si et seulement si son graphe est inclus dans la diagonale (le graphe de l'égalité).
Le nombre de relations antisymétriques dans un ensemble à n éléments est égal à , voir la .
Il y a deux possibilités pour n les couples : soit appartenir au graphe soit ne pas y appartenir.
Pour les paires , il y a trois possibilités : soit seul appartient au graphe, soit seul , soit aucun des deux (ils ne peuvent y appartenir tous les deux).
Le nombre de relations antisymétriques et réflexives est , voir la .
L'intersection de deux relations antisymétriques R et dans un ensemble E est également antisymétrique.
Démonstration :
On doit montrer : , où et .
Preuve directe :
Considérons un couple de E x E tel que : . Il vient de que et de que . Par antisymétrie de R, on obtient : .
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En mathématiques, une relation (binaire, interne) R sur un ensemble E est dite antisymétrique si elle vérifie : ce qui signifie que l'intersection de son graphe avec celui de sa relation réciproque est incluse dans la diagonale de E, autrement dit : La condition (1) peut aussi s'écrire On remarque l'antisymétrie d'une relation sur son diagramme sagittal par le fait qu'il n'y a pas de double flèche (donc que des sens uniques).
En mathématiques, une relation binaire entre deux ensembles E et F (ou simplement relation entre E et F) est définie par un sous-ensemble du produit cartésien E × F, soit une collection de couples dont la première composante est dans E et la seconde dans F. Cette collection est désignée par le graphe de la relation. Les composantes d'un couple appartenant au graphe d'une relation R sont dits en relation par R. Une relation binaire est parfois appelée correspondance entre les deux ensembles.
En mathématiques, une relation binaire peut avoir, entre autres propriétés, la réflexivité ou bien l'antiréflexivité (ou irréflexivité). Une relation R sur un ensemble X est dite : réflexive si tout élément de X est R-relié à lui-même :ou encore, si le graphe de R contient la diagonale de X (qui est le graphe de l'égalité) ; antiréflexive (ou irréflexive) si aucun élément de X n'est R-relié à lui-même :ou encore, si son graphe est disjoint de la diagonale de X.
La Physique Générale I (avancée) couvre la mécanique du point et du solide indéformable. Apprendre la mécanique, c'est apprendre à mettre sous forme mathématique un phénomène physique, en modélisant l
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We explore statistical physics in both classical and open quantum systems. Additionally, we will cover probabilistic data analysis that is extremely useful in many applications.
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