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Concept
Relation antisymétrique
Résumé
En mathématiques, une relation (binaire, interne) R sur un ensemble E est dite antisymétrique si elle vérifie :
ce qui signifie que l'intersection de son graphe avec celui de sa relation réciproque est incluse dans la diagonale de E, autrement dit :
La condition (1) peut aussi s'écrire
On remarque l'antisymétrie d'une relation sur son diagramme sagittal par le fait qu'il n'y a pas de double flèche (donc que des sens uniques).
L'antisymétrie est parfois appelée « antisymétrie faible », par opposition à l'« antisymétrie forte » qu'est l'asymétrie (une relation asymétrique est une relation antisymétrique et antiréflexive).
Les relations d'ordre, qui sont les préordres antisymétriques.
Sont antisymétriques sans être des relations d'ordre :
La relation vide
La relation définie par dans les entiers (lien verbal : "être le successeur de")
la relation de lien verbal "être l'enfant de ".
La relation sur les entiers naturels " être un diviseur premier de".
Une relation est à la fois symétrique et antisymétrique si et seulement si son graphe est inclus dans la diagonale (le graphe de l'égalité).
Le nombre de relations antisymétriques dans un ensemble à n éléments est égal à , voir la .
Il y a deux possibilités pour n les couples : soit appartenir au graphe soit ne pas y appartenir.
Pour les paires , il y a trois possibilités : soit seul appartient au graphe, soit seul , soit aucun des deux (ils ne peuvent y appartenir tous les deux).
Le nombre de relations antisymétriques et réflexives est , voir la .
L'intersection de deux relations antisymétriques R et dans un ensemble E est également antisymétrique.
Démonstration :
On doit montrer : , où et .
Preuve directe :
Considérons un couple de E x E tel que : . Il vient de que et de que . Par antisymétrie de R, on obtient : .
Source officielle
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