Relation antisymétrique

En mathématiques, une relation (binaire, interne) R sur un ensemble E est dite antisymétrique si elle vérifie : ce qui signifie que l'intersection de son graphe avec celui de sa relation réciproque est incluse dans la diagonale de E, autrement dit : La condition (1) peut aussi s'écrire On remarque l'antisymétrie d'une relation sur son diagramme sagittal par le fait qu'il n'y a pas de double flèche (donc que des sens uniques). L'antisymétrie est parfois appelée « antisymétrie faible », par opposition à l'« antisymétrie forte » qu'est l'asymétrie (une relation asymétrique est une relation antisymétrique et antiréflexive). Les relations d'ordre, qui sont les préordres antisymétriques. Sont antisymétriques sans être des relations d'ordre : La relation vide La relation définie par dans les entiers (lien verbal : "être le successeur de") la relation de lien verbal "être l'enfant de ". La relation sur les entiers naturels " être un diviseur premier de". Une relation est à la fois symétrique et antisymétrique si et seulement si son graphe est inclus dans la diagonale (le graphe de l'égalité). Le nombre de relations antisymétriques dans un ensemble à n éléments est égal à , voir la . Il y a deux possibilités pour n les couples : soit appartenir au graphe soit ne pas y appartenir. Pour les paires , il y a trois possibilités : soit seul appartient au graphe, soit seul , soit aucun des deux (ils ne peuvent y appartenir tous les deux). Le nombre de relations antisymétriques et réflexives est , voir la . L'intersection de deux relations antisymétriques R et dans un ensemble E est également antisymétrique. Démonstration : On doit montrer : , où et . Preuve directe : Considérons un couple de E x E tel que : . Il vient de que et de que . Par antisymétrie de R, on obtient : .