Inégalité torique de LoewnerEn géométrie différentielle, l'inégalité torique de Loewner est une inégalité établie par le mathématicien américain Charles Loewner. Elle relie la systole et l'aire d'une métrique riemannienne quelconque d'un tore de dimension 2. thumb|La plus petite boucle d'un tore. En 1949, Charles Loewner démontre que chaque métrique d'un tore de dimension 2 () satisfait l'inégalité optimale : où sys est sa systole. La constante figurant dans le membre de droite de l'inégalité est la constante d'Hermite en dimension 2
Gromov's systolic inequality for essential manifoldsIn the mathematical field of Riemannian geometry, M. Gromov's systolic inequality bounds the length of the shortest non-contractible loop on a Riemannian manifold in terms of the volume of the manifold. Gromov's systolic inequality was proved in 1983; it can be viewed as a generalisation, albeit non-optimal, of Loewner's torus inequality and Pu's inequality for the real projective plane. Technically, let M be an essential Riemannian manifold of dimension n; denote by sysπ1(M) the homotopy 1-systole of M, that is, the least length of a non-contractible loop on M.
Géométrie différentielle des surfacesEn mathématiques, la géométrie différentielle des surfaces est la branche de la géométrie différentielle qui traite des surfaces (les objets géométriques de l'espace usuel E3, ou leur généralisation que sont les variétés de dimension 2), munies éventuellement de structures supplémentaires, le plus souvent une métrique riemannienne. Outre les surfaces classiques de la géométrie euclidienne (sphères, cônes, cylindres, etc.
Systoles of surfacesIn mathematics, systolic inequalities for curves on surfaces were first studied by Charles Loewner in 1949 (unpublished; see remark at end of P. M. Pu's paper in '52). Given a closed surface, its systole, denoted sys, is defined to be the least length of a loop that cannot be contracted to a point on the surface. The systolic area of a metric is defined to be the ratio area/sys2. The systolic ratio SR is the reciprocal quantity sys2/area. See also Introduction to systolic geometry.
Systole (mathématiques)Dans un espace métrique compact, la systole est la longueur minimale d'un lacet non contractile, c'est-à-dire d'une courbe fermée qu'on ne peut déformer continûment pour l'amener en un point. En géométrie des nombres, la systole d'un réseau dans un espace euclidien désigne la norme du plus petit vecteur non nul de ce réseau. Cette notion intervient en particulier dans le , également connu sous le nom de « critère de Mahler ». La systole est donc la longueur minimum d'un lacet représentant une classe non nulle d'homologie première du tore quotient du réseau.
Gromov's inequality for complex projective spaceIn Riemannian geometry, Gromov's optimal stable 2-systolic inequality is the inequality valid for an arbitrary Riemannian metric on the complex projective space, where the optimal bound is attained by the symmetric Fubini–Study metric, providing a natural geometrisation of quantum mechanics. Here is the stable 2-systole, which in this case can be defined as the infimum of the areas of rational 2-cycles representing the class of the complex projective line in 2-dimensional homology. The inequality first appeared in as Theorem 4.
Filling area conjectureIn differential geometry, Mikhail Gromov's filling area conjecture asserts that the hemisphere has minimum area among the orientable surfaces that fill a closed curve of given length without introducing shortcuts between its points. Every smooth surface M or curve in Euclidean space is a metric space, in which the (intrinsic) distance dM(x,y) between two points x, y of M is defined as the infimum of the lengths of the curves that go from x to y along M.
