où chacune de ces matrices possède un carré égal au négatif de la matrice identité. Lorsque le produit matriciel est interprété comme , on obtient alors un sous-groupe du groupe des matrices qui est isomorphe au groupe des quaternions. En conséquence, représente le biquaternion q. Étant donné une matrice complexe 2×2 quelconque, il existe des valeurs complexes u, v, w et x pour la tourner dans cette forme, c’est-à-dire que l' est isomorphe à l'anneau des biquaternions. Supposons que nous prenions w purement imaginaire, , où . (Ici, on utilise à la place de i pour l'imaginaire complexe pour le distinguer du quaternion i.) Maintenant, lorsque r = w j, alors son carré est En particulier, lorsque b = 1 ou –1, alors . Ce développement montre que les biquaternions sont une source de « moteurs algébriques » comme r qui élevé au carré donne +1.
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