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Concept
Produit matriciel
Résumé
Le produit matriciel désigne la multiplication de matrices, initialement appelé la « composition des tableaux ».
Il s'agit de la façon la plus fréquente de multiplier des matrices entre elles.
En algèbre linéaire, une matrice A de dimensions m lignes et n colonnes (matrice m×n) représente une application linéaire ƒ d'un espace de dimension n vers un espace de dimension m. Une matrice colonne V de n lignes est une matrice n×1, et représente un vecteur v d'un espace vectoriel de dimension n. Le produit A×V représente ƒ(v).
Si A et B représentent respectivement les applications linéaires f et g, alors A×B représente la composition des applications .
Cette opération est utilisée notamment en mécanique lors des calculs de torseur statique, ou en informatique pour la matrice d'adjacence d'un graphe.
Le produit de deux matrices ne peut se définir que si le nombre de colonnes de la première matrice est le même que le nombre de lignes de la deuxième matrice, c'est-à-dire lorsqu'elles sont de type compatible.
Si est une matrice de type et est une matrice de type , alors leur produit, noté est une matrice de type donnée par :
La figure suivante montre comment calculer les coefficients et de la matrice produit si est une matrice de type , et est une matrice de type .
left
En général, la multiplication des matrices n'est pas commutative, c'est-à-dire que n'est pas égal à , comme le montre l'exemple suivant.
tandis que
Si l'on considère les matrices et , où et sont des matrices vérifiant :
Le nombre de colonnes de et est égal au nombre de lignes de et
Le nombre de colonnes de et est égal au nombre de lignes de et
on a alors l'égalité
On remarquera l'analogie entre le produit de matrice par blocs et le produit de deux matrices carrées d'ordre 2.
N.B. : on ne définit pas ainsi une nouvelle forme de multiplication de matrices. Cela correspond simplement à une méthode de calcul du produit matriciel ordinaire pouvant simplifier les calculs.
Produit matriciel de Hadamard
Pour deux matrices de même type, nous avons le produit d'Hadamard ou produit composante par composante.
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