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Concept
Série géométrique
Résumé
thumb|Preuve sans mots de l'égalité1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ = 1
thumb|Illustration de l'égalité 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ = 1/3 :chacun des carrés violets mesure 1/4 de la surface du grand carré le plus proche (1/2× = 1/4, 1/4×1/4 = 1/16, etc.). Par ailleurs, la somme des aires des carrés violets est égale à un tiers de la superficie du grand carré.
En mathématiques, la série géométrique est l'un des exemples de série numérique les plus simples. C'est la série associée à une suite géométrique, c'est-à-dire la suite des sommes partielles des termes de cette suite. Intuitivement, une série géométrique est une série avec un ratio constant des termes successifs. Par exemple, la série
est géométrique, parce que chaque terme est le produit du précédent par 1/2.
Elle admet, dans les algèbres de Banach, une généralisation qui permet d'étudier les variations de l'inverse d'un élément.
Soit une suite géométrique à valeurs réelles de terme initial et de raison . La suite des sommes partielles de cette suite est définie par
Accessoirement, on peut en déduire l'élément suivant de la suite :
Sachant que le terme général de la suite géométrique (u) est u = aq, et en excluant le cas q = 1 qui donne S = (n + 1)a, le terme général de la suite (S) des sommes partielles de la série s'écrit :
De manière plus générale, pour une suite géométrique de raison q et dont on veut connaître la somme partielle entre les naturels i et j (i ≤ j), la formule est la suivante :
On cherche à calculer la somme des puissances k-ièmes de 2 pour k entier allant de 0 à 8. C'est la somme des 9 premiers termes de la suite géométrique de raison 2 et de premier terme 1 :
La formule de la section précédente s'écrit ici :
L'identité est vraie pour n = 0. Supposons-la vérifiée au rang n. Alors,
ce qui montre l'assertion au rang n + 1.
Pour un entier naturel n fixé, on multiplie S par q, puis on soustrait le résultat obtenu à S :
(c'est une somme télescopique). On obtient donc
c'est-à-dire :
C'est la démarche employée par Euclide dans le Livre IX de ses Éléments, théorème 33 proposition XXXV, pour des nombres entiers positifs.
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